Инвесторам нравится концентрироваться на обещании высокой доходности, но они также должны спросить, какой риск они должны взять на себя в обмен на эти доходы. Хотя мы часто говорим о риске в общем смысле, существуют также формальные выражения отношения риск-вознаграждение. Например, коэффициент Шарпа измеряет избыточную доходность на единицу риска, где риск рассчитывается как волатильность, которая является традиционной и популярной мерой риска. Его статистические свойства хорошо известны, и он учитывает несколько структур, таких как современная теория портфеля и модель Блэка-Шоулза. Мы исследуем волатильность, чтобы понять ее использование и ее пределы.
Годовое стандартное отклонение
В отличие от подразумеваемой волатильности, которая относится к теории ценообразования опционов и является прогнозной оценкой, основанной на рыночном консенсусе, регулярная волатильность смотрит назад. В частности, это стандартное отклонение исторической доходности в годовом исчислении.
Традиционные структуры риска, основанные на стандартном отклонении, обычно предполагают, что доходность соответствует нормальному распределению в форме колокола. Нормальное распределение дает нам удобные рекомендации: примерно в двух третях случаев (68, 3%) отдача должна находиться в пределах одного стандартного отклонения (+/-); и в 95% случаев возврат должен находиться в пределах двух стандартных отклонений. Два качества графа нормального распределения - узкие «хвосты» и идеальная симметрия. Тощие хвосты подразумевают очень низкую частоту (около 0, 3% времени) отдачи, которая больше трех стандартных отклонений от среднего значения. Симметрия подразумевает, что частота и величина усиления в сторону повышения являются зеркальным отражением потерь в сторону снижения.
СМ.: Влияние волатильности на доходность рынка
Следовательно, традиционные модели рассматривают всю неопределенность как риск, независимо от направления. Как показали многие люди, это проблема, если доходности не симметричны - инвесторы беспокоятся о своих потерях «слева» от среднего значения, но не беспокоятся о доходах справа от среднего значения.
Мы иллюстрируем эту причуду ниже с двумя вымышленными акциями. Падающая акция (синяя линия) совершенно не имеет дисперсии и, следовательно, создает нулевую волатильность, но растущая акция - потому что она демонстрирует несколько шоков вверх, но ни единой капли - создает волатильность (стандартное отклонение) в 10%.
Теоретические свойства
Например, когда мы рассчитываем волатильность для индекса S & P 500 по состоянию на 31 января 2004 года, мы получаем от 14, 7% до 21, 1%. Почему такой диапазон? Потому что мы должны выбрать как интервал, так и исторический период. Что касается интервала, мы можем собрать серию ежемесячных, еженедельных или ежедневных (даже внутри-дневных) доходов. И наша серия возвратов может распространяться на исторический период любой продолжительности, например три года, пять лет или 10 лет. Ниже мы вычислили стандартное отклонение доходности для S & P 500 за 10-летний период, используя три разных интервала:
Обратите внимание, что волатильность увеличивается по мере увеличения интервала, но не почти пропорционально: еженедельная сумма почти не в пять раз превышает дневную, а месячная - не почти в четыре раза больше, чем еженедельная. Мы пришли к ключевому аспекту теории случайных блужданий: шкалы стандартных отклонений (возрастания) пропорционально квадратному корню времени. Поэтому, если ежедневное стандартное отклонение составляет 1, 1%, и если в году 250 торговых дней, годовое стандартное отклонение представляет собой ежедневное стандартное отклонение, равное 1, 1%, умноженное на квадратный корень из 250 (1, 1% x 15, 8 = 18, 1%)., Зная это, мы можем пересчитать годовые интервалы стандартных отклонений для S & P 500 путем умножения на квадратный корень из числа интервалов в году:
Еще одно теоретическое свойство волатильности может вас удивить, а может и не удивить: оно разрушает доходность. Это связано с ключевым допущением идеи случайного блуждания: отдача выражается в процентах. Представьте, что вы начинаете со 100 долларов, а затем получаете 10%, чтобы получить 110 долларов. Тогда вы теряете 10%, что приносит вам 99 долларов (110 х 90% = 99 долларов). Затем вы снова получаете 10%, чтобы получить чистые $ 108, 90 ($ 99 x 110% = $ 108, 9). Наконец, вы теряете 10% до чистых $ 98, 01. Это может быть нелогичным, но ваша основная сумма медленно уменьшается, хотя ваш средний выигрыш составляет 0%!
Если, например, вы ожидаете, что среднегодовой прирост составит 10% в год (т.е. среднее арифметическое), то окажется, что ваш долгосрочный ожидаемый прирост составляет чуть менее 10% в год. Фактически, оно будет уменьшено примерно на половину дисперсии (где дисперсия является квадратом стандартного отклонения). В приведенной ниже гипотетической гипотезе мы начинаем с 100 долларов, а затем представляем себе пять лет волатильности до 157 долларов:
Среднегодовая доходность за пять лет составила 10% (15% + 0% + 20% - 5% + 20% = 50% ÷ 5 = 10%), но совокупный годовой темп роста (CAGR или геометрическая доходность) составляет более точный показатель реализованного прироста, и он составил всего 9, 49%. Волатильность ухудшила результат, и разница составляет примерно половину дисперсии 1, 1%. Эти результаты не из исторического примера, но с точки зрения ожиданий, учитывая стандартное отклонение σ (дисперсия - квадрат стандартного отклонения), σ2 и ожидаемый средний прирост μ ожидаемый годовой доход составляет примерно μ- (σ2 ÷ 2).
Возвращает ли себя хорошо?
Теоретические рамки, без сомнения, изящны, но они зависят от хороших результатов. А именно, нормальное распределение и случайное блуждание (то есть независимость от одного периода к следующему). Как это соотносится с реальностью? Мы собрали ежедневные доходы за последние 10 лет для S & P 500 и Nasdaq ниже (около 2500 ежедневных наблюдений):
Как вы можете ожидать, волатильность Nasdaq (среднегодовое отклонение в 28, 8%) больше, чем волатильность S & P 500 (среднегодовое отклонение в 18, 1%). Мы можем наблюдать две разницы между нормальным распределением и фактической доходностью. Во-первых, фактические доходы имеют более высокие пики, что означает больший перевес доходов, близких к среднему. Во-вторых, фактические доходы имеют более толстые хвосты. (Наши результаты в некоторой степени совпадают с более обширными академическими исследованиями, в которых также обнаруживаются высокие пики и толстые хвосты; технический термин для этого - куртоз). Скажем, мы считаем минус три стандартных отклонения большой потерей: S & P 500 испытывал ежедневную потерю минус три стандартных отклонения примерно в -3, 4% случаев. Нормальная кривая предсказывает, что такая потеря произойдет примерно три раза за 10 лет, но на самом деле это произошло 14 раз!
Это распределения отдельных интервальных доходностей, но что теория говорит о доходах с течением времени? В качестве теста, давайте посмотрим на фактические дневные распределения S & P 500 выше. В этом случае среднегодовая доходность (за последние 10 лет) составляла около 10, 6%, и, как обсуждалось, годовая волатильность составляла 18, 1%. Здесь мы проводим гипотетическое испытание, начиная с 100 долларов и удерживая его в течение 10 лет, но мы каждый год подвергаем инвестицию случайному результату, который в среднем составлял 10, 6% со стандартным отклонением 18, 1%. Это испытание было проведено 500 раз, что сделало его так называемым симуляцией Монте-Карло. Окончательные ценовые результаты 500 испытаний показаны ниже:
Нормальное распределение показано в качестве фона исключительно для выделения очень ненормальных ценовых результатов. Технически, итоговые итоговые цены являются логнормальными (это означает, что если бы ось X была преобразована в натуральное логарифм x, распределение выглядело бы более нормальным) Дело в том, что несколько ценовых результатов находятся далеко справа: из 500 испытаний шесть результатов принесли результат на конец периода в 700 долларов! Этим драгоценным результатам удалось заработать в среднем более 20% каждый год в течение 10 лет. С левой стороны, поскольку снижение баланса снижает совокупный эффект процентных потерь, мы получили лишь несколько конечных результатов, которые были менее 50 долларов. Подводя итог трудной идее, мы можем сказать, что интервальная доходность - выраженная в процентах - обычно распределяется, но итоговая цена распределяется логарифмически нормально.
СМ.: Многомерные модели: анализ Монте-Карло
Наконец, еще один вывод наших испытаний согласуется с «эффектами эрозии» волатильности: если бы ваши инвестиции приносили ровно среднее значение каждый год, в конце вы бы держали около 273 долл. (10, 6% за 10 лет). Но в этом эксперименте наш общий ожидаемый выигрыш приблизился к 250 долларам. Другими словами, средний (арифметический) годовой прирост составил 10, 6%, но кумулятивный (геометрический) прирост был меньше.
Важно помнить, что наше моделирование предполагает случайное блуждание: оно предполагает, что возврат от одного периода к следующему полностью независим. Мы не доказали это никакими средствами, и это не тривиальное предположение. Если вы считаете, что доходы следуют тенденциям, вы технически утверждаете, что они показывают положительную последовательную корреляцию. Если вы думаете, что они возвращаются к среднему значению, то технически вы говорите, что они показывают отрицательную последовательную корреляцию. Ни одна позиция не согласуется с независимостью.
Суть
Волатильность - это годовое стандартное отклонение доходности. В традиционных теоретических рамках он не только измеряет риск, но и влияет на ожидание долгосрочной (многопериодной) доходности. Таким образом, он просит нас принять сомнительные предположения о том, что интервальные возвраты обычно распределены и независимы. Если эти предположения верны, высокая волатильность - это обоюдоострый меч: он подрывает ожидаемый долгосрочный доход (он уменьшает среднее арифметическое значение до среднего геометрического), но также дает вам больше шансов получить несколько больших выигрышей.
СМОТРЕТЬ: подразумеваемая волатильность: покупать дешево и продавать дорого
