Волатильность является наиболее распространенной мерой риска, но она имеет несколько разновидностей. В предыдущей статье мы показали, как рассчитать простую историческую волатильность., мы улучшим простую волатильность и обсудим экспоненциально взвешенное скользящее среднее (EWMA).
Историческая и подразумеваемая волатильность
Во-первых, давайте рассмотрим эту метрику в перспективе. Существует два широких подхода: историческая и подразумеваемая (или неявная) волатильность. Исторический подход предполагает, что прошлое является прологом; мы измеряем историю в надежде, что она будет предсказательной. Подразумеваемая волатильность, с другой стороны, игнорирует историю; это решает для волатильности, подразумеваемой рыночными ценами. Он надеется, что рынок знает лучше и что рыночная цена содержит, хотя и неявно, консенсус-оценку волатильности.
Если мы сосредоточимся только на трех исторических подходах (слева вверху), у них есть два общих шага:
- Рассчитать ряд периодических возвратов. Применить весовую схему.
Сначала рассчитаем периодическую доходность. Обычно это серия ежедневных возвратов, где каждое возвращение выражается в непрерывно составленных терминах. Для каждого дня мы берем натуральный логарифм соотношения цен на акции (т. Е. Сегодняшняя цена делится на вчерашнюю цену и т. Д.).
Ui = lnsi − 1 si где: ui = доходность за день isi = цена акций за день isi − 1 = цена акций за день до i
Это приводит к серии ежедневных возвратов, от u i до u im, в зависимости от того, сколько дней (m = days) мы измеряем.
Это подводит нас ко второму шагу: здесь три подхода отличаются. В предыдущей статье мы показали, что при нескольких приемлемых упрощениях простая дисперсия является средним квадратом доходности:
Дисперсия = σn2 = m1 Σi = 1m un − 12, где: m = количество измеренных днейn = dayiu = разница доходности от среднего дохода
Обратите внимание, что это суммирует каждую периодическую доходность, а затем делит эту сумму на количество дней или наблюдений (м). Таким образом, это действительно просто среднее значение периодической доходности в квадрате. Другими словами, каждому квадрату отдачи присваивается равный вес. Так что если альфа (а) является весовым коэффициентом (в частности, а = 1 / м), то простая дисперсия выглядит примерно так:
EWMA улучшает простую дисперсию
Слабость этого подхода заключается в том, что все возвраты получают одинаковый вес. Вчерашнее (очень недавнее) возвращение не имеет большего влияния на дисперсию, чем возвращение в прошлом месяце. Эта проблема решается с помощью экспоненциально взвешенного скользящего среднего (EWMA), в котором более поздние результаты имеют больший вес на дисперсию.
Экспоненциально взвешенное скользящее среднее (EWMA) вводит лямбду, которая называется параметром сглаживания. Лямбда должна быть меньше единицы. При этом условии вместо равных весов каждое возвращаемое значение в квадрате взвешивается множителем следующим образом:
Например, RiskMetrics TM , компания по управлению финансовыми рисками, имеет тенденцию использовать лямбда 0, 94, или 94%. В этом случае первый (самый последний) квадрат периодической доходности взвешивается на (1-0, 94) (. 94) 0 = 6%. Следующее квадратное возвращение - это просто лямбда-множитель предыдущего веса; в этом случае 6% умножается на 94% = 5, 64%. И вес третьего предшествующего дня равен (1-0, 94) (0, 94) 2 = 5, 30%.
Это значение «экспоненты» в EWMA: каждый вес является постоянным множителем (т.е. лямбда, который должен быть меньше единицы) веса предыдущего дня. Это обеспечивает дисперсию, которая взвешена или смещена в сторону более свежих данных. Разница между просто волатильностью и EWMA для Google показана ниже.
Простая волатильность эффективно взвешивает каждую периодическую доходность на 0, 196%, как показано в столбце O (у нас было два года ежедневных данных по ценам на акции. Это 509 дневных доходностей и 1/509 = 0, 196%). Но обратите внимание, что столбец P присваивает вес 6%, затем 5, 64%, затем 5, 3% и так далее. Это единственная разница между простой дисперсией и EWMA.
Помните: после суммирования всей серии (в столбце Q) у нас есть дисперсия, которая является квадратом стандартного отклонения. Если мы хотим волатильности, нам нужно помнить, чтобы взять квадратный корень из этой дисперсии.
Какая разница в дневной волатильности между дисперсией и EWMA в случае Google? Это важно: простая дисперсия дала нам дневную волатильность 2, 4%, а EWMA дала дневную волатильность всего 1, 4% (подробности см. В таблице). Очевидно, изменчивость Google успокоилась совсем недавно; следовательно, простая дисперсия может быть искусственно высокой.
Сегодняшняя дисперсия является функцией дисперсии предыдущего дня
Вы заметите, что нам нужно было вычислить длинный ряд экспоненциально убывающих весов. Здесь мы не будем делать математику, но одна из лучших особенностей EWMA заключается в том, что вся серия удобно сводится к рекурсивной формуле:
Σn2 (ewma) = λσn2 + (1-λ) un-12, где: λ = степень уменьшения веса σ2 = значение в период времени nu2 = значение EWMA в период времени n
Рекурсивный означает, что сегодняшние ссылки на отклонения (т.е. являются функцией отклонения предыдущего дня). Вы также можете найти эту формулу в электронной таблице, и она даст тот же результат, что и при ручном расчете! В нем говорится: сегодняшняя дисперсия (по EWMA) равна вчерашней дисперсии (взвешенной по лямбде) плюс вчерашняя квадратичная доходность (взвешенная по одной минус лямбде). Обратите внимание, что мы просто добавляем два термина вместе: вчерашнюю взвешенную дисперсию и вчерашнюю взвешенную квадратную доходность.
Тем не менее, лямбда является нашим параметром сглаживания. Более высокая лямбда (например, как у RiskMetric 94%) указывает на более медленное затухание в ряду - в относительном выражении у нас будет больше точек данных в ряду, и они будут «падать» медленнее. С другой стороны, если мы уменьшаем лямбду, мы указываем более высокое затухание: веса падают быстрее и, как прямой результат быстрого затухания, используется меньше точек данных. (В электронной таблице лямбда является вводом, поэтому вы можете поэкспериментировать с ее чувствительностью).
Резюме
Волатильность - это мгновенное стандартное отклонение акций и наиболее распространенная метрика риска. Это также квадратный корень дисперсии. Мы можем измерить дисперсию исторически или неявно (подразумеваемая волатильность). При историческом измерении самый простой метод - это простая дисперсия. Но слабость с простой дисперсией - все возвраты получают одинаковый вес. Таким образом, мы сталкиваемся с классическим компромиссом: мы всегда хотим больше данных, но чем больше у нас данных, тем больше наши расчеты разбавляются отдаленными (менее значимыми) данными. Экспоненциально взвешенное скользящее среднее (EWMA) улучшает простую дисперсию, присваивая веса периодическим доходам. Делая это, мы можем использовать как большой размер выборки, так и придать больший вес более поздним результатам.
