Сложный процент - это процент, начисляемый на первоначальную основную сумму, а также на накопленные проценты за предыдущие периоды вклада или займа. Эффект сложного процента зависит от частоты.
Допустим, годовая процентная ставка составляет 12%. Если мы начнем год со 100 долларов и сложим только один раз, в конце года основной капитал возрастет до 112 долларов (100 x 1, 12 = 112 долларов). Если вместо этого мы будем составлять каждый месяц по 1%, мы получим более 112 долларов на конец года. То есть 100 x 1, 01 ^ 12 при 112, 68 $. (Это выше, потому что мы составляли чаще.)
Непрерывно составленные возвраты составляют наиболее часто. Непрерывная сложность - это математический предел, которого может достичь сложный процент. Это крайний случай сложения, поскольку наибольший интерес составляется ежемесячно, ежеквартально или раз в полгода.
Полугодовые нормы прибыли
Во-первых, давайте посмотрим на потенциально запутанное соглашение. На рынке облигаций мы ссылаемся на доходность в эквиваленте облигаций (или в эквиваленте облигаций). Это означает, что если облигация дает 6% на полугодовой основе, ее эквивалентная облигация доходность составляет 12%.
Изображение Джули Бэнг © Investopedia 2019
Полугодовая доходность просто удваивается. Это может ввести в заблуждение, потому что эффективная доходность облигации с эквивалентной доходностью 12% составляет 12, 36% (т. Е. 1, 06 ^ 2 = 1, 1236). Удвоение полугодовой доходности - это просто соглашение об именовании облигаций. Поэтому, если мы читаем о 8% облигации, составленной раз в полгода, мы предполагаем, что это относится к 4% полугодовой доходности.
Квартальные, месячные и дневные нормы доходности
Теперь давайте обсудим более высокие частоты. Мы по-прежнему предполагаем, что рыночная процентная ставка составит 12% годовых. Согласно соглашениям об именах облигаций, это подразумевает 6% полугодовую сложную ставку. Теперь мы можем выразить квартальную составную ставку как функцию рыночной процентной ставки.
Изображение Джули Бэнг © Investopedia 2019
С учетом годовой рыночной ставки ( r) квартальная сложная ставка ( r q) определяется как:
RQ = 4
Так, для нашего примера, где годовая рыночная ставка составляет 12%, квартальная сложная ставка составляет 11, 825%:
RQ = 4≅11.825%
Изображение Джули Бэнг © Investopedia 2019
Аналогичная логика применима к ежемесячной рецептуре. Ежемесячная сложная ставка ( r m ) приведена здесь как функция годовой рыночной процентной ставки ( r):
Ежедневная сложная ставка ( d) как функция рыночной процентной ставки ( r) определяется как:
й = 360 = 360≅11.66%
Как работает непрерывное соединение
Изображение Джули Бэнг © Investopedia 2019
Если мы увеличиваем частоту составления до ее предела, мы непрерывно составляем. Хотя это не может быть практичным, непрерывно составленная процентная ставка предлагает удивительно удобные свойства. Оказывается, что непрерывно составленная процентная ставка определяется как:
RСЕРИЙНАЯ СЪЕМКА = Ln (1 + г)
Ln () - натуральное логарифмическое число, поэтому в нашем примере непрерывно составленная скорость равна:
RСЕРИЙНАЯ СЪЕМКА = Ln (1 + 0, 12) = Ln (1.12) ≅11.33%
Мы получаем то же самое место, беря натуральный логарифм этого отношения: конечное значение, разделенное на начальное значение.
RСЕРИЙНАЯ СЪЕМКА = Ln (ValueStart ValueEnd) = Ln (100112) ≅11.33%
Последнее часто встречается при расчете непрерывно сложного дохода на акцию. Например, если акция подскочила с 10 долл. США в один день до 11 долл. США на следующий день, непрерывно составляемый дневной доход определяется как:
RСЕРИЙНАЯ СЪЕМКА = Ln (ValueStart ValueEnd) = Ln ($ 10 $ 11) ≅9.53%
Что такого замечательного в непрерывно составленной скорости (или возврате), которую мы будем обозначать через r c ? Во-первых, его легко масштабировать. Учитывая принцип (P), наше конечное богатство за (n) лет определяется как:
ш = Проц п
Обратите внимание, что е - экспоненциальная функция. Например, если мы начнем со 100 долларов и будем непрерывно увеличивать ставку до 8% в течение трех лет, конечное богатство будет определяться как:
ш = $ 100e (0, 08) (3) = $ 127.12
Дисконтирование к текущей стоимости (PV) является просто сложным обратным , поэтому текущая стоимость будущей стоимости (F), непрерывно составляемая со скоростью ( r c) , определяется как:
PV из F, полученных за (n) лет = erc nF = Fe − rc n
Например, если вы собираетесь получить 100 долларов в течение трех лет по непрерывной ставке 6%, ее текущая стоимость определяется как:
PV = Fe-гс п = ($ 100) е- (0, 06) (3) = $ 100e-0.18≅ $ 83, 53
Масштабирование по нескольким периодам
Удобным свойством непрерывно составленных возвратов является то, что они масштабируются по нескольким периодам. Если доход за первый период составляет 4%, а доход за второй период - 3%, то двухпериодный доход составляет 7%. Предположим, мы начинаем год со 100 долларов, который в конце первого года вырастет до 120 долларов, затем в конце второго года - до 150 долларов. Непрерывно составленные доходы составляют соответственно 18, 23% и 22, 31%.
Ln (100120) ≅18.23%
Ln (120150) ≅22.31%
Если мы просто сложим их вместе, мы получим 40, 55%. Это двухпериодный возврат:
Ln (100150) ≅40.55%
Технически говоря, непрерывное возвращение является постоянным во времени. Постоянство во времени является техническим требованием для оценки рисков (VAR). Это означает, что если однопериодный возврат является нормально распределенной случайной величиной, мы хотим, чтобы случайные переменные с несколькими периодами также были нормально распределены. Кроме того, многопериодный непрерывно составленный возврат обычно распределяется (в отличие, скажем, от простого процентного возврата).
Суть
Мы можем переформулировать годовые процентные ставки в полугодовые, квартальные, ежемесячные или ежедневные процентные ставки (или нормы прибыли). Наиболее частым составлением является непрерывное составление, которое требует от нас использования натурального логарифма и экспоненциальной функции, которая обычно используется в финансах из-за ее желательных свойств - она легко масштабируется в течение нескольких периодов и является постоянной по времени.
