Ставьте умнее с симуляцией Монте-Карло

В финансах существует значительная доля неопределенности и риска, связанных с оценкой будущей стоимости цифр или сумм из-за большого разнообразия потенциальных результатов. Моделирование по методу Монте-Карло (MCS) является одним из методов, который помогает уменьшить неопределенность, связанную с оценкой будущих результатов. MCS может применяться к сложным нелинейным моделям или использоваться для оценки точности и производительности других моделей. Он также может быть реализован в управлении рисками, управлении портфелем, производных цен, стратегическом планировании, планировании проектов, моделировании затрат и других областях.

Определение

MCS - это метод, который преобразует неопределенности входных переменных модели в распределения вероятностей. Комбинируя распределения и случайным образом выбирая значения из них, он много раз пересчитывает имитированную модель и выявляет вероятность выхода.

Основные характеристики

MCS позволяет использовать несколько входов одновременно для создания распределения вероятностей одного или нескольких выходов. Разные типы распределений вероятностей могут быть назначены входам модели. Когда распределение неизвестно, можно выбрать тот, который представляет наилучшее соответствие. Использование случайных чисел характеризует MCS как стохастический метод. Случайные числа должны быть независимыми; между ними не должно быть никакой корреляции. MCS генерирует выходные данные в виде диапазона вместо фиксированного значения и показывает, насколько вероятно выходное значение в этом диапазоне.

Некоторые часто используемые распределения вероятностей в MCS

Нормальное / гауссовское распределение - Непрерывное распределение, применяемое в ситуациях, когда даны среднее значение и стандартное отклонение, а среднее представляет наиболее вероятное значение переменной. Он симметричен относительно среднего и не ограничен.

Логнормальное распределение - Непрерывное распределение, определенное средним и стандартным отклонением. Это подходит для переменной в диапазоне от нуля до бесконечности, с положительной асимметрией и с нормально распределенным натуральным логарифмом.

Треугольное распределение - непрерывное распределение с фиксированными минимальными и максимальными значениями. Он ограничен минимальными и максимальными значениями и может быть симметричным (наиболее вероятное значение = среднее = медиана) или асимметричным.

Равномерное распределение - непрерывное распределение, ограниченное известными минимальными и максимальными значениями. В отличие от треугольного распределения, вероятность появления значений между минимумом и максимумом одинакова.

Экспоненциальное распределение - Непрерывное распределение, используемое для иллюстрации времени между независимыми вхождениями, при условии, что частота вхождений известна.

Математика за MCS

Предположим, что у нас есть вещественная функция g (X) с функцией частоты вероятности P (x) (если X дискретна) или функция плотности вероятности f (x) (если X непрерывна). Тогда мы можем определить ожидаемое значение g (X) в дискретном и непрерывном выражениях соответственно:

$\begin{matrix} Е (грамм (Икс)) знак равно Σ_{- \infty}^{+ \infty} грамм (Икс) п (Икс), \\ где п (Икс) > 0 и Σ_{- \infty}^{+ \infty} п (Икс) знак равно 1 \\ Е (грамм (Икс)) знак равно \int_{- \infty}^{+ \infty} грамм (Икс) е (Икс) d Икс, \\ где е (Икс) > 0 и \int_{- \infty}^{+ \infty} е (Икс) d Икс знак равно 1 \\ Затем сделайте случайные рисунки, называемые N Икс ({Икс}_{1}, \dots, {Икс}_{N}) \\ пробные прогоны или симуляции, рассчитать грамм ({Икс}_{1}), \dots, грамм ({Икс}_{N}) \end{matrix} \ BEGIN {выровнен} & Е (г (Х)) = \ сумма ^ {+ \ infty} _ {- \ infty} г (х) Р (х), \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ text {где} P (x)> 0 \ text {and} sum ^ {+ \ infty} _ {- \ infty} P (x) = 1 \\ & E (g (X)) = \ int ^ {+ \ infty} _ {- \ infty} g (x) f (x) , dx, \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ text {где} f (x)> 0 \ text {and} int ^ {+ \ infty} _ {- \ infty} f (x) , dx = 1 \\ & \ text {Затем сделайте $ n $ случайных рисунков из $ X (x_1, \ ldots, x_n) $, называемого} \ & \ text {пробные прогоны или симуляции, вычислите $ g (x_1), \ ldots, g (x_n) $} \ & \ text {и найдите среднее значение $ g (x) $ для образца:} {конец выровнен}$ E (g (X)) = - ∞∑ + ∞ g (x) P (x), где P (x)> 0 и −∞ + + ∞ P (x) = 1E (g (X)) = ∫ − ∞ + ∞ g (x) f (x) dx, где f (x)> 0 и ∫ − ∞ + ∞ f (x) dx = 1, далее сделайте n случайных рисунков X (x1, …, xn), вызванные пробные прогоны или симуляционные прогоны, вычислите g (x1), …, g (xn)

$\begin{matrix} {грамм}_{N}^{μ} (Икс) знак равно \frac{1}{N} Σ_{я знак равно 1}^{N} грамм ({Икс}_{я}), который представляет окончательный смоделированный \\ ценность Е (грамм (Икс)), \\ Следовательно {грамм}_{N}^{μ} (Икс) знак равно \frac{1}{N} Σ_{я знак равно 1}^{N} грамм (Икс) будет Монте-Карло \\ оценка Е (грамм (Икс)), \\ В качестве N \to \infty, {грамм}_{N}^{μ} (Икс) \to Е (грамм (Икс)), таким образом, теперь мы можем \\ рассчитать дисперсию вокруг расчетного среднего с \\ непредвзятая дисперсия {грамм}_{N}^{μ} (Икс) : \end{matrix} \ begin {align} & g ^ \ mu_n (x) = \ frac {1} {n} sum ^ n_ {i = 1} g (x_i), \ text {который представляет окончательный смоделированный} \ & \ text { значение} E (g (X)). \\\\ & \ text {Следовательно} g ^ \ mu_n (X) = \ frac {1} {n} sum ^ n_ {i = 1} g (X) text {будет Монте-Карло} \ & \ text {оценщик} E (g (X)). \\\\ & \ text {As} n \ to \ infty, g ^ \ mu_n (X) для E (g (X)), \ text {теперь мы можем}} \ & \ text {вычислить дисперсию вокруг среднего значения с помощью} \ & \ text {несмещенной дисперсии} g ^ \ mu_n (Х) {текст:} \ & вар (г ^ \ mu_n (Х)) = \ гидроразрыва {1} {N-1} сумма ^ п- {I = 1} (г (x_i) -g ^ \ mu_n (х)) ^ 2. {конец выровнен}$ Gnμ (x) = n1 i = 1∑n g (xi), что представляет окончательное смоделированное значение E (g (X)), поэтому gnμ (X) = n1 i = 1∑n g (X) будет методом Монте-Карлоэтиматора E (g (X)). При n → ∞ gnμ (X) → E (g (X)), таким образом, теперь мы можем вычислить дисперсию вокруг расчетного среднего с несмещенная дисперсия gnμ (X):

Простой пример

Как неопределенность в цене за единицу, продажах единицы и переменных затратах повлияет на EBITD?

Продажа авторских прав) - (Переменные затраты + Фиксированные затраты)

Давайте объясним неопределенность входных данных - цена за единицу, продажи за единицу и переменные затраты - используя треугольное распределение, определяемое соответствующими минимальными и максимальными значениями входных данных из таблицы.

авторское право

Чувствительность Диаграмма

График чувствительности может быть очень полезен, когда дело доходит до анализа влияния входов на выход. То, что он говорит, - то, что продажи единицы составляют 62% отклонения в моделируемом EBITD, переменные затраты для 28, 6% и цена за единицу на 9, 4%. Корреляция между продажами за единицу и EBITD и между ценой за единицу и EBITD является положительной, или увеличение продаж за единицу или цены за единицу приведет к увеличению EBITD. Переменные затраты и EBITD, с другой стороны, имеют отрицательную корреляцию, и за счет снижения переменных затрат мы увеличим EBITD.

авторское право

Помните, что определение неопределенности входного значения с помощью распределения вероятностей, которое не соответствует реальному, и выборка из него даст неверные результаты. Кроме того, предположение о том, что входные переменные являются независимыми, может быть неверным. Вводящие в заблуждение результаты могут поступать из входных данных, которые являются взаимоисключающими или если обнаружена значительная корреляция между двумя или более входными распределениями.

Суть

Техника MCS проста и гибка. Он не может устранить неопределенность и риск, но он может облегчить их понимание, приписывая вероятностные характеристики входным и выходным данным модели. Это может быть очень полезно для определения различных рисков и факторов, которые влияют на прогнозируемые переменные, и, следовательно, это может привести к более точным прогнозам. Также обратите внимание, что количество испытаний не должно быть слишком маленьким, поскольку этого может быть недостаточно для моделирования модели, что приводит к кластеризации значений.

Оглавление: