Что такое теорема Байеса?
Теорема Байеса, названная в честь британского математика 18-го века Томаса Байеса, является математической формулой для определения условной вероятности. Теорема предоставляет способ пересмотра существующих предсказаний или теорий (вероятностей обновления) с учетом новых или дополнительных доказательств. В финансах теорема Байеса может быть использована для оценки риска кредитования денег потенциальным заемщикам.
Теорема Байеса также называется правилом Байеса или законом Байеса и является основой области байесовской статистики.
Ключевые вынос
- Теорема Байеса позволяет обновлять прогнозируемые вероятности события путем включения новой информации. Теорема Байеса была названа в честь математика 18-го века Томаса Байеса. Она часто используется в финансах при обновлении оценки риска.
Формула для теоремы Байеса
P (A∣B) = P (B) P (A⋂B) = P (B) P (A) ⋅P (B∣A) где: P (A) = вероятность возникновения APP (B)) = Вероятность возникновения BP (A∣B) = Вероятность A данного BP (B∣A) = Вероятность B данного AP (A⋂B)) = Вероятность появления A и B
Объяснение теоремы Байеса
Приложения теоремы широко распространены и не ограничиваются финансовой областью. В качестве примера, теорема Байеса может быть использована для определения точности результатов медицинского теста, принимая во внимание, насколько вероятно, что у данного человека заболевание, и общую точность теста. Теорема Байеса основана на включении предыдущих вероятностных распределений для генерации апостериорных вероятностей. В байесовском статистическом выводе априорная вероятность - это вероятность события до сбора новых данных. Это лучшая рациональная оценка вероятности результата, основанная на текущих знаниях до проведения эксперимента. Апостериорная вероятность - это пересмотренная вероятность события, произошедшего после учета новой информации. Апостериорная вероятность рассчитывается путем обновления априорной вероятности с использованием теоремы Байеса. В статистическом выражении апостериорная вероятность - это вероятность события A, происходящего с учетом того, что событие B произошло.
Таким образом, теорема Байеса дает вероятность события на основе новой информации, которая связана или может быть связана с этим событием. Формула также может использоваться, чтобы увидеть, как гипотетическая новая информация влияет на вероятность возникновения события, предполагая, что новая информация окажется верной. Например, скажем, одна карта взята из полной колоды из 52 карт. Вероятность того, что карта является королем, равна 4, деленному на 52, что равно 1/13 или приблизительно 7, 69%. Помните, что в колоде 4 короля. Теперь предположим, что обнаружено, что выбранная карта является лицевой картой. Вероятность того, что выбранная карта является королем, учитывая, что это лицевая карта, равна 4, деленному на 12, или приблизительно 33, 3%, поскольку в колоде 12 лицевых карт.
Вывод формулы теоремы Байеса на примере
Теорема Байеса следует просто из аксиом условной вероятности. Условная вероятность - это вероятность события, учитывая, что произошло другое событие. Например, простой вопрос о вероятности может спросить: «Какова вероятность падения цены акций Amazon.com, Inc. (NYSE: AMZN)?» Условная вероятность поднимает этот вопрос на шаг вперед, задавая вопрос: «Какова вероятность падения цены акций AMZN с учетом того, что индекс Dow Jones Industrial Average (DJIA) упал раньше?»
Условная вероятность того, что А произошло, может быть выражена как:
Если A: «цена AMZN падает», то P (AMZN) - вероятность падения AMZN; и B: «DJIA уже выключен», а P (DJIA) - вероятность падения DJIA; тогда выражение условной вероятности читается как «вероятность того, что AMZN упадет при снижении DJIA, равна вероятности того, что цена AMZN упадет, а DJIA снизится по сравнению с вероятностью уменьшения индекса DJIA.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN и DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN и DJIA) - вероятность появления как A, так и B. Это также совпадает с вероятностью появления A, умноженной на вероятность появления B, учитывая, что происходит A, выраженной как P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). Тот факт, что эти два выражения равны, приводит к теореме Байеса, которая записывается как:
if, P (AMZN и DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
тогда P (AMZN | DJIA) = / P (DJIA).
Где P (AMZN) и P (DJIA) - это вероятности падения Амазонки и Доу-Джонса без учета друг друга.
Формула объясняет связь между вероятностью гипотезы до того, как увидит доказательства того, что P (AMZN), и вероятностью гипотезы после получения доказательства P (AMZN | DJIA), с учетом гипотезы Амазонки, приведенной в Доу.
Численный пример теоремы Байеса
В качестве числового примера представьте, что есть тест на наркотики с точностью 98%, то есть в 98% случаев он показывает истинно положительный результат для тех, кто употребляет наркотики, и в 98% случаев он показывает истинно отрицательный результат для тех, кто не употребляет наркотики. наркотиков. Далее предположим, что 0, 5% людей употребляют наркотики. Если человек, выбранный случайным образом, дает положительный результат на препарат, можно сделать следующий расчет, чтобы увидеть, является ли вероятность того, что человек действительно является потребителем препарата.
(0, 98 х 0, 005) / = 0, 0049 / (0, 0049 + 0, 0199) = 19, 76%
Теорема Байеса показывает, что даже если у человека положительный результат теста в этом сценарии, на самом деле гораздо более вероятно, что человек не является потребителем наркотиков.
