Содержание
- Нормальное распределение (кривая Белла)
- Риск и возврат
- Современная теория портфолио
- Строительные блоки
- Быстрый пример MPT
- Проблемы MPT и Распределение
- Суть
Нормальное распределение - это распределение вероятностей, которое отображает все свои значения симметричным образом, причем большинство результатов находятся вокруг среднего значения вероятности.
Нормальное распределение (кривая Белла)
Наборы данных (например, рост 100 человек, оценки, полученные 45 учениками в классе и т. Д.), Как правило, имеют много значений в одной точке данных или в одном и том же диапазоне. Такое распределение точек данных называется нормальным распределением или распределением кривой колокола.
Например, в группе из 100 человек 10 могут быть ниже 5 футов, 65 могут стоять от 5 до 5, 5 футов, а 25 могут быть выше 5, 5 футов. Это ограниченное диапазоном распределение может быть построено следующим образом:
Точно так же точки данных, нанесенные на графики для любого данного набора данных, могут напоминать различные типы распределений. Три из наиболее распространенных - выравнивание по левому краю, выравнивание по правому краю и перемешивание:
Обратите внимание на красную линию тренда на каждом из этих графиков. Это примерно указывает на тенденцию распределения данных. Первый, «Выравнивание по левому краю», указывает, что большинство точек данных попадают в нижний диапазон. На втором графике «ПРАВИЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕННОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ» большинство точек данных попадают в верхний предел диапазона, в то время как последняя «Jumbled Distribution» представляет смешанный набор данных без какой-либо четкой тенденции.
Во многих случаях распределение точек данных имеет тенденцию быть около центрального значения, и этот график показывает идеальное нормальное распределение - одинаково сбалансированное с обеих сторон, причем наибольшее количество точек данных сосредоточено в центре.
Вот идеальный, нормально распределенный набор данных:
Центральным значением здесь является 50 (у которого есть наибольшее количество точек данных), а распределение равномерно сужается к крайним конечным значениям 0 и 100 (у которых наименьшее количество точек данных). Нормальное распределение симметрично относительно центрального значения с половиной значений на каждой стороне.
Множество реальных примеров соответствуют распределению кривой колокола:
- Бросайте справедливую монету много раз (скажем, 100 или более раз), и вы получите сбалансированное нормальное распределение голов и хвостов. Несколько раз бросьте пару справедливых кубиков (скажем, 100 или более), и результат будет сбалансированным, нормальным распределение сосредоточено вокруг числа 7 и равномерно сужается к крайним значениям 2 и 12. Рост людей в группе значительных размеров и оценки, полученные людьми в классе, следуют обычным моделям распределения. В финансах изменения в значения журнала курсов форекс, индексов цен и цен на акции предполагается нормально распределенными.
Риск и возврат
Любая инвестиция имеет два аспекта: риск и доходность. Инвесторы ищут минимально возможный риск для максимально возможной доходности. Нормальное распределение количественно определяет эти два аспекта по среднему значению для доходности и стандартному отклонению для риска. (Подробнее см. «Анализ среднего отклонения».)
Среднее или ожидаемое значение
Конкретное среднее изменение цены акции может составлять 1, 5% в день, что означает, что в среднем оно увеличивается на 1, 5%. Это среднее значение или ожидаемое значение, означающее доходность, может быть получено путем вычисления среднего значения для достаточно большого набора данных, содержащего исторические ежедневные изменения цены этой акции. Чем выше среднее, тем лучше.
Среднеквадратичное отклонение
Стандартное отклонение указывает величину, на которую значения отклоняются в среднем от среднего. Чем выше стандартное отклонение, тем рискованнее инвестиции, так как это ведет к большей неопределенности.
Вот графическое представление того же самого:
Следовательно, графическое представление нормального распределения через его среднее значение и стандартное отклонение позволяет представлять как доходность, так и риск в четко определенном диапазоне.
Это помогает знать (и быть уверенным с уверенностью), что если какой-либо набор данных следует нормальному шаблону распределения, его среднее значение позволит нам узнать, какую отдачу ожидать, а его стандартное отклонение позволит нам узнать, что около 68% значений будет в пределах 1 стандартного отклонения, 95% в пределах 2 стандартных отклонений и 99% значений будут находиться в пределах 3 стандартных отклонений. Набор данных, который имеет среднее значение 1, 5 и стандартное отклонение 1, намного более рискован, чем другой набор данных, имеющий среднее значение 1, 5 и стандартное отклонение 0, 1.
Зная эти значения для каждого выбранного актива (т.е. акций, облигаций и фондов), инвестор узнает об ожидаемых доходах и рисках.
Легко применить эту концепцию и представлять риск и доходность одной акции, облигации или фонда. Но можно ли это распространить на портфель из нескольких активов?
Люди начинают торговать, покупая одну акцию или облигацию или инвестируя во взаимный фонд. Постепенно они, как правило, увеличивают свои активы и покупают несколько акций, фондов или других активов, создавая тем самым портфель. В этом инкрементном сценарии люди строят свои портфели без стратегии или особой предусмотрительности. Профессиональные управляющие фондами, трейдеры и маркет-мейкеры следуют систематическому методу построения своего портфеля, используя математический подход, называемый современной теорией портфеля (MPT), который основан на концепции «нормального распределения».
Современная теория портфолио
Современная теория портфеля (MPT) предлагает системный математический подход, который направлен на максимизацию ожидаемой доходности портфеля для данной суммы риска портфеля путем выбора пропорций различных активов. Альтернативно, это также предлагает минимизировать риск для данного уровня ожидаемого дохода.
Для достижения этой цели активы, которые будут включены в портфель, должны выбираться не только на основе их собственных индивидуальных достоинств, но и на основе того, как каждый актив будет работать по сравнению с другими активами в портфеле.
Вкратце, MPT определяет, как наилучшим образом добиться диверсификации портфеля для достижения наилучших возможных результатов: максимальная доходность для приемлемого уровня риска или минимальный риск для желаемого уровня доходности.
Строительные блоки
MPT была настолько революционной концепцией, когда была представлена, что ее изобретатели получили Нобелевскую премию. Эта теория успешно предоставила математическую формулу для руководства диверсификацией в инвестировании.
Диверсификация - это метод управления рисками, который устраняет риск «все яйца в одной корзине» путем инвестирования в некоррелированные акции, сектора или классы активов. В идеале положительная динамика одного актива в портфеле отменит отрицательную производительность других активов.
Чтобы взять среднюю доходность портфеля с n различными активами, рассчитывается пропорционально взвешенная комбинация доходностей составляющих активов.
Из-за характера статистических расчетов и нормального распределения общая доходность портфеля (R p) рассчитывается как:
Rp = Σwi Ri
Сумма (∑), где w i - пропорциональный вес актива i в портфеле, R i - доходность (средняя) актива i.
Портфельный риск (или стандартное отклонение) является функцией корреляций включенных активов для всех пар активов (по отношению друг к другу в паре).
Из-за характера статистических расчетов и нормального распределения общий риск портфеля (Std-dev) p рассчитывается как:
(Std-Dev) р = SQRT
Здесь cor-cof - это коэффициент корреляции между доходностью активов i и j, а sqrt - квадратный корень.
Это заботится об относительной производительности каждого актива по отношению к другому.
Хотя это кажется математически сложным, простая концепция, применяемая здесь, включает в себя не только стандартные отклонения отдельных активов, но и связанные по отношению друг к другу.
Хороший пример доступен здесь из Университета Вашингтона.
Быстрый пример MPT
В качестве мысленного эксперимента давайте представим, что мы являемся управляющим портфелем, которому был передан капитал, и перед ним поставлена задача определить, какой объем капитала должен быть распределен на два доступных актива (A & B), чтобы ожидаемый доход был максимальным, а риск - сниженным.
У нас также есть следующие доступные значения:
R a = 0, 175
R b = 0, 055
(Стандартное отклонение) а = 0, 258
(Стандартное отклонение) b = 0, 115
(Стандартное отклонение) ab = -0, 004875
(Cor-cof) ab = -0, 164
Начиная с равного распределения 50-50 для каждого актива A & B, R p рассчитывается до 0, 115, а (Std-dev) p составляет 0, 1323. Простое сравнение говорит нам о том, что для этих 2 портфелей активов доходность, а также риск находятся посередине между отдельными значениями каждого актива.
Однако наша цель состоит в том, чтобы повысить доходность портфеля за пределы простого среднего значения для каждого отдельного актива и снизить риск, чтобы он был ниже, чем у отдельных активов.
Теперь давайте возьмем позицию распределения капитала 1, 5 в активе A и позицию распределения капитала -0, 5 в активе B. (Отрицательное распределение капитала означает короткое замыкание на то, что запас и полученный капитал используются для покупки излишка другого актива с положительным распределением капитала. В Другими словами, мы покупаем акции B в 0, 5 раза и используем эти деньги для покупки акций A в 1, 5 раза.)
Используя эти значения, мы получаем R p как 0, 1604 и (Std-dev) p как 0, 4005.
Точно так же мы можем продолжать использовать разные веса распределения для активов A и B и получать разные наборы Rp и (Std-dev) p. В соответствии с желаемой доходностью (Rp), можно выбрать наиболее приемлемый уровень риска (std-dev) p. Альтернативно, для желаемого уровня риска можно выбрать наилучшую доступную доходность портфеля. В любом случае, с помощью этой математической модели теории портфеля можно достичь цели создания эффективного портфеля с желаемой комбинацией риска и доходности.
Использование автоматизированных инструментов позволяет легко и плавно определять наилучшие возможные распределенные пропорции без необходимости длительных ручных вычислений.
Эффективная граница, модель ценообразования капитальных активов (CAPM) и ценообразование активов с использованием MPT также развиваются по той же модели нормального распределения и являются расширением MPT.
Проблемы MPT (и лежащее в основе нормальное распределение)
К сожалению, ни одна математическая модель не является идеальной, и у каждой есть недостатки и ограничения.
Основное предположение о том, что доходность акций соответствует нормальному распределению, ставится под сомнение снова и снова Существует достаточное эмпирическое доказательство случаев, когда значения не соответствуют предполагаемому нормальному распределению. Основание сложных моделей на таких допущениях может привести к результатам с большими отклонениями.
Если перейти дальше к MPT, расчеты и предположения о коэффициенте корреляции и ковариации, оставаясь фиксированными (на основе исторических данных), могут не обязательно выполняться для будущих ожидаемых значений. Например, рынки облигаций и акций продемонстрировали отличную корреляцию на рынке Великобритании с 2001 по 2004 годы, когда доходность от обоих активов снизилась одновременно. В действительности обратное наблюдается в течение длительных исторических периодов до 2001 года.
Поведение инвестора не принимается во внимание в этой математической модели. Налогами и трансакционными издержками пренебрегают, хотя предполагается частичное распределение капитала и возможность приобретения активов.
В действительности, ни одно из этих предположений не может быть верным, что означает, что реализованная финансовая прибыль может значительно отличаться от ожидаемой прибыли.
Суть
Математические модели обеспечивают хороший механизм для количественной оценки некоторых переменных с помощью отдельных отслеживаемых чисел. Но из-за ограничений допущений модели могут потерпеть неудачу.
Нормальное распределение, которое составляет основу теории портфеля, может не обязательно применяться к ценовым моделям акций и других финансовых активов. Теория портфеля сама по себе имеет много предположений, которые следует критически изучить, прежде чем принимать важные финансовые решения.
