Среднее арифметическое и среднее геометрическое

Есть много способов измерить эффективность финансового портфеля и определить, успешна ли инвестиционная стратегия. Инвестиционные профессионалы часто используют для этого среднее геометрическое , чаще называемое средним геометрическим.

Среднее геометрическое отличается от среднего арифметического или среднего арифметического в том, как оно рассчитывается, поскольку оно учитывает сложность, которая происходит от периода к периоду. Из-за этого инвесторы обычно считают геометрическое среднее более точным показателем доходности, чем среднее арифметическое.

Формула для среднего арифметического

$\begin{matrix} знак равно \frac{1}{N} Σ_{я знак равно 1}^{N}_{я} знак равно \frac{_{1} +_{2} + \dots +_{N}}{N} \\ где: \\ _{1},_{2}, \dots,_{N} знак равно Портфолио возвращается за период N \\ N знак равно Количество периодов \end{matrix} \ begin {align} & A = \ frac {1} {n} sum_ {i = 1} ^ n a_i = \ frac {a_1 + a_2 + \ dotso + a_n} {n} \ & \ textbf {где:} \ & a_1, a_2, \ dotso, a_n = \ text {Портфолио возвращается за период} n \\ & n = \ text {Количество периодов} \ \ end {выровненный}$ A = n1 i = 1∑n ai = na1 + a2 +… + an где: a1, a2, …, an = возврат портфеля за период nn = количество периодов

Среднее арифметическое

Как рассчитать среднее арифметическое

Среднее арифметическое - это сумма ряда чисел, деленная на число этих рядов чисел.

Это будет рассчитываться как:

$\begin{matrix} \frac{60 % + 70 % + 80 % + 90 % + 100 %}{5} знак равно 80 % \end{matrix} \ begin {align} & \ frac {60 \% + 70 \% + 80 \% + 90 \% + 100 \%} {5} = 80 \% \\ \ end {align}$ 560% + 70% + 80% + 90% + 100% = 80%

Причина, по которой мы используем среднее арифметическое для результатов тестов, заключается в том, что каждый результат является независимым событием. Если один ученик плохо выполняет экзамен, шансы следующего ученика плохо (или хорошо) на экзамене не затрагиваются.

В мире финансов среднее арифметическое обычно не является подходящим методом для вычисления среднего. Например, рассмотрим возврат инвестиций. Предположим, вы вложили свои сбережения в финансовые рынки в течение пяти лет. Если бы доходность вашего портфеля каждый год составляла 90%, 10%, 20%, 30% и -90%, какой была бы ваша средняя доходность за этот период?

При среднем арифметическом значении средняя доходность составит 12%, что на первый взгляд кажется впечатляющим, но оно не совсем точное. Это потому, что когда дело доходит до годовой доходности инвестиций, цифры не являются независимыми друг от друга. Если вы теряете значительную сумму денег в конкретном году, у вас будет гораздо меньше капитала для инвестирования и получения прибыли в последующие годы.

Нам необходимо рассчитать среднее геометрическое значение ваших инвестиционных доходов, чтобы получить точное измерение того, каким будет ваш фактический среднегодовой доход за пятилетний период.

Формула для среднего геометрического

$\begin{matrix} {(Π_{я знак равно 1}^{N} {Икс}_{я})}^{\frac{1}{N}} знак равно \sqrt[N]{{Икс}_{1} {Икс}_{2} \dots {Икс}_{N}} \\ где: \\ {Икс}_{1}, {Икс}_{2}, \dots знак равно Портфолио возвращается за каждый период \\ N знак равно Количество периодов \end{matrix} \ begin {align} & \ left ( prod_ {i = 1} ^ n x_i \ right) ^ { frac {1} {n}} = \ sqrt {x_1 x_2 \ dots x_n} \ & \ textbf {где:} \ & x_1, x_2, \ dots = \ text {Портфолио возвращается для каждого периода} \ & n = \ text {Количество периодов} \ \ end {выровнено}$ (I = 1∏n xi) n1 = nx1 x2… xn где: x1, x2, ⋯ = возврат портфеля для каждого периодаn = количество периодов

Как рассчитать среднее геометрическое

Среднее геометрическое значение для ряда чисел рассчитывается путем взятия произведения этих чисел и увеличения его до величины, обратной длине ряда.

Для этого мы добавляем по одному к каждому номеру (чтобы избежать проблем с отрицательными процентами). Затем умножьте все числа вместе и увеличьте их произведение до степени, деленной на количество чисел в серии. Затем мы вычитаем одно из результата.

Формула, написанная в десятичных числах, выглядит следующим образом:

$\begin{matrix} \frac{1}{N} - 1 \\ где: \\ р знак равно Возвращение \\ N знак равно Количество чисел в серии \end{matrix} \ begin {align} & ^ { frac {1} {n}} - 1 \\ & \ textbf {where:} \ & \ text {R} = \ text {Return} \ & n = \ text {Count чисел в серии} \ \ end {выровненный}$ N1 −1 где: R = Returnn = Количество чисел в ряду

Формула выглядит довольно интенсивной, но на бумаге она не так сложна. Возвращаясь к нашему примеру, давайте вычислим среднее геометрическое: наши доходы были 90%, 10%, 20%, 30% и -90%, поэтому мы включаем их в формулу:

$\begin{matrix} (1, 9 \times 1, 1 \times 1, 2 \times 1, 3 \times 0, 1)^{\frac{1}{5}} - 1 \end{matrix} \ begin {align} & (1.9 \ times 1.1 \ times 1.2 \ times 1.3 \ times 0.1) ^ { frac {1} {5}} -1 \\ \ end {выровненный}$ (1, 9 × 1, 1 × 1, 2 × 1, 3 × 0, 1) 51 -1

Результат дает среднегодовую геометрическую доходность -20, 08%. Результат с использованием геометрического среднего намного хуже, чем среднее арифметическое 12%, которое мы вычислили ранее, и, к сожалению, в данном случае это также число, которое представляет реальность.

Ключевые вынос

Среднее геометрическое наиболее подходит для рядов, которые показывают последовательную корреляцию. Это особенно верно для инвестиционных портфелей. Большинство доходов в финансах коррелируют, включая доходность облигаций, доходность акций и премии за рыночный риск. Чем длиннее временной интервал, тем более критичным становится сложение и тем более целесообразно использование среднего геометрического. Для изменчивых чисел среднее геометрическое обеспечивает гораздо более точное измерение истинной доходности с учетом сложения по годам.

Оглавление: