Определение линейных отношений

Что такое линейные отношения?

Линейная связь (или линейная связь) - это статистический термин, используемый для описания прямой зависимости между переменной и константой. Линейные отношения могут быть выражены либо в графическом формате, где переменная и константа связаны прямой линией, либо в математическом формате, где независимая переменная умножается на коэффициент наклона, добавляемый константой, которая определяет зависимую переменную.

Линейное отношение может быть противопоставлено полиномиальному или нелинейному (изогнутому) отношению.

Ключевые вынос

Линейная связь (или линейная связь) - это статистический термин, используемый для описания прямой зависимости между переменной и константой. Линейные отношения могут быть выражены либо в графическом формате, либо в виде математического уравнения в виде y = mx + b. Линейные отношения довольно распространены в повседневной жизни.

Линейное уравнение:

Математически линейная зависимость - это та, которая удовлетворяет уравнению:

$\begin{matrix} Y знак равно м Икс + б \\ где: \\ м знак равно скат \\ б знак равно у отсекаемого \end{matrix} \ begin {align} & y = mx + b \\ & \ textbf {где:} \ & m = \ text {slope} \ & b = \ text {y-intercept} \ \ end {align}$ у = х + bwhere: т = slopeb = у-перехват

В этом уравнении «x» и «y» являются двумя переменными, которые связаны параметрами «m» и «b». Графически y = mx + b отображает в плоскости xy линию с наклоном «m» и y-перехватом «b». Y-перехват «b» - это просто значение «y», когда x = 0. Наклон «m» рассчитывается из любых двух отдельных точек (x ₁, y ₁) и (x ₂, y ₂) как:

$м знак равно \frac{(Y_{2} - Y_{1})}{({Икс}_{2} - {Икс}_{1})} m = \ frac {(y_2 - y_1)} {(x_2 - x_1)}$ т = (х2 -x1) (у2 -y1)

Линейная связь

Что Линейные Отношения говорят Вам?

Существует три набора необходимых критериев, которым должно соответствовать уравнение, чтобы квалифицировать его как линейное: уравнение, выражающее линейное отношение, не может содержать более двух переменных, все переменные в уравнении должны быть в первой степени и уравнение должно отображаться в виде прямой линии.

Линейная функция в математике - это та, которая удовлетворяет свойствам аддитивности и однородности. Линейные функции также соблюдают принцип суперпозиции, который гласит, что чистый выход двух или более входов равен сумме выходов отдельных входов. Обычно используемое линейное отношение - это корреляция, которая описывает, как одна переменная изменяется линейно по отношению к изменениям другой переменной.

В эконометрике линейная регрессия является часто используемым методом генерации линейных отношений для объяснения различных явлений. Однако не все отношения линейны. Некоторые данные описывают кривые отношения (такие как полиномиальные отношения), в то время как другие данные не могут быть параметризованы.

Линейные функции

Математически похожим на линейное отношение является понятие линейной функции. В одной переменной линейная функция может быть записана следующим образом:

$\begin{matrix} е (Икс) знак равно м Икс + б \\ где: \\ м знак равно скат \\ б знак равно у отсекаемого \end{matrix} \ begin {align} & f (x) = mx + b \\ & \ textbf {где:} \ & m = \ text {slope} \ & b = \ text {y-intercept} \ \ end {align}$ F (X) = х + bwhere: т = slopeb = у-перехват

Это идентично данной формуле для линейного отношения, за исключением того, что вместо y используется символ f (x) . Эта замена сделана, чтобы подчеркнуть значение того, что x отображается на f (x), тогда как использование y просто указывает, что x и y - две величины, связанные A и B.

При изучении линейной алгебры свойства линейных функций широко изучаются и становятся строгими. Учитывая скаляр C и два вектора A и B из R ^N, наиболее общее определение линейной функции гласит: $с \times е (+ В) знак равно с \times е () + с \times е (В) c \ times f (A + B) = c \ times f (A) + c \ times f (B)$ C × F (А + В) = C × F (A) + с × F (B)

Примеры линейных отношений

Пример 1

Линейные отношения довольно распространены в повседневной жизни. Давайте возьмем понятие скорости, например. Формула, которую мы используем для расчета скорости, выглядит следующим образом: скорость - это расстояние, пройденное во времени. Если кто-то в белом микроавтобусе Chrysler Town and Country 2007 года путешествует между Сакраменто и Мерисвиллом в Калифорнии, на 41, 3-мильном отрезке шоссе 99, и полный путь заканчивается 40 минутами, она будет путешествовать чуть ниже 60 миль в час.

Хотя в этом уравнении содержится более двух переменных, оно все равно является линейным уравнением, поскольку одна из переменных всегда будет постоянной (расстояние).

Пример 2

Линейная зависимость также может быть найдена в уравнении расстояние = скорость х время. Поскольку расстояние является положительным числом (в большинстве случаев), эта линейная зависимость будет выражаться в верхнем правом квадранте графика с осями X и Y.

Если велосипед, рассчитанный на двоих, ехал со скоростью 30 миль в час в течение 20 часов, в итоге гонщик преодолеет 600 миль. Графически представленная расстоянием по оси Y и временем по оси X, линия, отслеживающая расстояние за эти 20 часов, будет проходить прямо из схождения осей X и Y.

Пример 3

Чтобы перевести градусы Цельсия в градусы Фаренгейта или Фаренгейта в градусы Цельсия, вы должны использовать приведенные ниже уравнения. Эти уравнения выражают линейную зависимость на графике:

$° С знак равно \frac{5}{9} (° F - 32) \ степень C = \ frac {5} {9} ( степень F - 32)$ ° С = 95 (° F-32)

$° F знак равно \frac{9}{5} (° С + 32) \ Степень F = \ Frac {9} {5} ( Степень C + 32)$ ° F = 59 (° С + 32)

Пример 4

Предположим, что независимой переменной является размер дома (измеренный в квадратных футах), который определяет рыночную цену дома (зависимую переменную), когда она умножается на коэффициент наклона 207, 65 и затем добавляется к постоянному члену $ 10 500, Если площадь дома составляет 1250, то рыночная стоимость дома составляет (1 250 x 207, 65) + 10 500 долл. США = 270 062, 50 долл. США. Графически и математически это выглядит следующим образом:

В этом примере, когда размер дома увеличивается, рыночная стоимость дома увеличивается линейным образом.

Некоторые линейные отношения между двумя объектами можно назвать «константой пропорциональности». Это отношение выглядит как

$\begin{matrix} Y знак равно К \times Икс \\ где: \\ К знак равно постоянная \\ Y, Икс знак равно пропорциональные величины \end{matrix} \ begin {align} & Y = k \ times X \\ & \ textbf {где:} \ & k = \ text {constant} \ & Y, X = \ text {пропорциональные величины} \ \ end {выровненный}$ Y = k × X где: k = постоянная Y, X = пропорциональные величины

При анализе поведенческих данных редко существует идеальная линейная связь между переменными. Тем не менее, трендовые линии можно найти в данных, которые образуют грубую версию линейных отношений. Например, вы можете посмотреть на продажу мороженого и количество посещений больницы как две переменные в графике и найти линейную зависимость между ними.

Оглавление: