Определение сложных процентов

Содержание

• Что такое сложный процент?
• Расчет сложного процента
• Рост сложных процентов
• Сложные периоды
• Excel Compounding Расчет
• Использование других калькуляторов
• Частота составления
• Стоимость денег во времени
• «Правило 72»
• Совокупный среднегодовой темп роста
• Плюсы и минусы компаундирования
• Сложные процентные инвестиции
• Сказать, если интерес сложен

Что такое сложный процент?

Сложный процент (или сложный процент) - это процент, начисляемый на первоначальную основную сумму, который также включает все накопленные проценты за предыдущие периоды вклада или займа. Считается, что возникла в Италии 17-го века, сложный процент можно рассматривать как «процент по процентам» и будет увеличивать сумму быстрее, чем простой процент, который рассчитывается только на основную сумму.

Ключевые вынос

• Сложный процент (или сложный процент) - это процент, начисляемый на начальную основную сумму, который также включает в себя все накопленные проценты за предыдущие периоды вклада или займа. Сложный процент рассчитывается путем умножения первоначальной основной суммы на единицу плюс годовая процентная ставка, повышенная к числу составных периодов минус один. Интерес может быть составлен по любому заданному частотному графику, от непрерывного до ежедневного и ежегодного. При расчете сложного процента количество составных периодов имеет существенное значение.

Скорость, с которой начисляются сложные проценты, зависит от частоты начисления процентов, так что чем больше число периодов начисления процентов, тем больше процент начисления процентов. Таким образом, сумма сложных процентов, начисляемых на 100 долларов США, составляющая 10% в год, будет ниже, чем на 100 долларов США, составляющих 5% каждые полгода в течение того же периода времени. Поскольку эффект интереса к проценту может генерировать все более положительные результаты, основанные на первоначальной основной сумме, его иногда называют «чудом сложного процента».

Понимание сложного интереса

Расчет сложного процента

Сложный процент рассчитывается путем умножения первоначальной основной суммы на единицу плюс годовая процентная ставка, повышенная до количества сложных периодов минус один. Общая начальная сумма кредита затем вычитается из полученной стоимости.

Кэти Керпель {Copyright} Investopedia, 2019.

Формула для расчета сложных процентов:

Сложный процент = Общая сумма основного долга и процентов в будущем (или будущей стоимости) за вычетом основной суммы в настоящее время (или текущей стоимости)

= - P

= P

(Где P = Основная сумма, i = номинальная годовая процентная ставка в процентном выражении, а n = количество начисляемых периодов.)

Возьмите трехлетний кредит в размере 10 000 долларов США под 5% годовых. Какова будет сумма процентов? В этом случае это будет: 10 000 долл. США = 10 000 долл. США = 1 576, 25 долл. США.

Рост сложных процентов

Используя приведенный выше пример, поскольку сложный процент также учитывает накопленный процент за предыдущие периоды, сумма процентов не является одинаковой для всех трех лет, как это было бы с простым процентом. Хотя общая сумма процентов, подлежащих выплате в течение трехлетнего периода по этому кредиту, составляет 1 576, 25 долл. США, проценты, подлежащие выплате в конце каждого года, показаны в таблице ниже.

Сложные периоды

При расчете сложного процента количество периодов начисления составляет существенную разницу. Основное правило состоит в том, что чем больше число сложных периодов, тем больше сумма сложных процентов.

Следующая таблица демонстрирует разницу, которую может составить число начисляемых периодов для займа в 10 000 долларов США с годовой процентной ставкой 10% в течение 10-летнего периода.

Сложный процент может значительно повысить доходность инвестиций в долгосрочной перспективе. В то время как депозит в размере 100 000 долларов США, который получает 5% простых процентов, будет приносить проценты в размере 50 000 долларов США в течение 10 лет, сложный процент в размере 5% на 10 000 долларов США составит 62 889, 46 долларов США за тот же период.

Excel Compounding Расчет

Если со времени ваших занятий по математике прошло много времени, не бойтесь: есть удобные инструменты, помогающие составить фигуру. Многие калькуляторы (как карманные, так и компьютерные) имеют функции экспоненты, которые можно использовать для этих целей. Если возникают более сложные задачи составления, они могут быть выполнены с использованием Microsoft Excel - тремя различными способами.

1. Первый способ расчета сложных процентов состоит в умножении нового баланса каждого года на процентную ставку. Предположим, вы вносите 1000 долларов на сберегательный счет с 5% -ной процентной ставкой, которая составляет ежегодно, и вы хотите рассчитать остаток за пять лет. В Microsoft Excel введите «Год» в ячейку A1 и «Баланс» в ячейку B1. Введите годы от 0 до 5 в ячейки с A2 по A7. Баланс за год 0 составляет $ 1000, поэтому вы должны ввести «1000» в ячейку B2. Затем введите «= B2 * 1, 05» в ячейку B3. Затем введите «= B3 * 1, 05» в ячейку B4 и продолжайте делать это, пока не дойдете до ячейки B7. В ячейке B7 расчет равен "= B6 * 1, 05". Наконец, вычисленное значение в ячейке B7 - 1 276, 28 долл. США - это остаток на вашем сберегательном счете через пять лет. Чтобы найти значение сложного процента, вычтите 1000 долл. США из 1 276, 28 долл. США; это дает вам значение $ 276.28. Второй способ расчета сложного процента - это использование фиксированной формулы. Формула сложного процента: ((P * (1 + i) ^ n) - P), где P - основная сумма, i - годовая процентная ставка, а n - количество периодов. Используя ту же информацию выше, введите «Главное значение» в ячейку A1 и 1000 в ячейку B1. Затем введите «Процентная ставка» в ячейку A2 и «.05» в ячейку B2. Введите «Составные периоды» в ячейку A3 и «5» в ячейку B3. Теперь вы можете вычислить сложный процент в ячейке B4, введя «= (B1 * (1 + B2) ^ B3) -B1», что дает вам 276, 28 долл. США. Третий способ расчета сложного процента - создать макрофункцию. Сначала запустите редактор Visual Basic, который находится на вкладке разработчика. Откройте меню «Вставка» и выберите «Модуль». Затем введите «Function Compound_Interest (P как двойной, i как двойной, n как двойной) как двойной» в первой строке. Во второй строке нажмите клавишу табуляции и введите «Compound_Interest = (P * (1 + i) ^ n) - P». В третьей строке модуля введите «End Function». Вы создали макрокоманду функции для расчета сложной процентной ставки. Продолжая из той же таблицы Excel, указанной выше, введите «Сложные проценты» в ячейку A6 и введите «= Compound_Interest (B1, B2, B3)». Это дает вам значение $ 276, 28, что соответствует первым двум значениям.

Использование других калькуляторов

Как уже упоминалось выше, в Интернете предлагается ряд бесплатных калькуляторов по процентам, и многие портативные калькуляторы также могут выполнять эти задачи.

• Бесплатный калькулятор сложных процентов, предлагаемый через Financial-Calculators.com, прост в использовании и предлагает выбор смешанных частот от ежедневного до ежегодного. Он включает в себя возможность выбора непрерывной компоновки, а также позволяет вводить фактические даты начала и окончания календаря. После ввода необходимых расчетных данных результаты показывают заработанные проценты, будущую стоимость, годовой процентный доход (APY), который представляет собой показатель, включающий начисления процентов и ежедневные проценты. Investor.gov, веб-сайт, управляемый Комиссией по ценным бумагам и биржам США (SEC), предлагает бесплатный онлайн калькулятор сложных процентов. Калькулятор довольно прост, но он позволяет вводить ежемесячные дополнительные вклады в основную сумму, что полезно для расчета прибыли, когда вносятся дополнительные ежемесячные сбережения. Бесплатный онлайн-калькулятор процентов с несколькими дополнительными функциями доступен на TheCalculatorSite.com. Этот калькулятор позволяет выполнять расчеты для разных валют, возможность учитывать ежемесячные депозиты или снятие средств, а также возможность автоматически рассчитывать увеличение с учетом инфляции ежемесячных депозитов или снятий.

Частота составления

Интерес может составлять любой график частоты, от ежедневного до ежегодного. Существуют стандартные схемы составления частот, которые обычно применяются к финансовым инструментам.

Обычно используемый составление графика для сберегательного счета в банке - ежедневно. Для CD типичные графики составления частот - ежедневные, ежемесячные или полугодовые; для счетов денежного рынка это часто ежедневно. Для ипотечных ссуд, ссуд на акции, личных ссуд для бизнеса или счетов кредитных карт наиболее часто применяемый составной график составляется ежемесячно. Также могут быть различия во временных рамках, в которые начисленные проценты фактически зачисляются на существующий баланс. Проценты по счету могут начисляться ежедневно, но зачисляться только ежемесячно. Только когда проценты фактически начисляются или добавляются к существующему балансу, они начинают зарабатывать дополнительные проценты на счете.

Некоторые банки также предлагают то, что называется непрерывно сложным процентом, который добавляет интерес к основной сумме в любой момент. В практических целях это не накапливает намного больше, чем ежедневные начисляемые проценты, если только вы не хотите вкладывать деньги и вынимать их в тот же день.

Более частое начисление процентов выгодно инвестору или кредитору. Для заемщика верно обратное.

Стоимость денег во времени

Понимание временной стоимости денег и экспоненциального роста, созданного с помощью компаундирования, крайне важно для инвесторов, стремящихся оптимизировать распределение своего дохода и богатства.

Формула для получения будущей стоимости (FV) и текущей стоимости (PV) выглядит следующим образом:

FV = PV (1 + i) ⁿ и PV = FV / (1 + i) ⁿ

Например, будущая стоимость в 10 000 долларов составляет 5% годовых в течение трех лет:

= 10 000 долларов США (1 + 0, 05) ³

= 10 000 долларов США (1, 157625)

= 11 576, 25 $

Приведенная стоимость в размере 11 576, 25 долл. США со скидкой 5% в течение трех лет:

= 11 576, 25 долл. США / (1 + 0, 05) ³

= 11 576, 25 долл. США / 1, 157625 долл. США

= 10000 долларов

В данном случае коэффициент дисконтирования равен 1.157625, что равно 0.8638376.

«Правило 72»

Так называемое Правило 72 вычисляет приблизительное время, в течение которого инвестиции удвоятся с заданной ставкой доходности или процентом «i», и определяется как (72 / i). Его можно использовать только для годовой рецептуры.

Например, инвестиции с годовой нормой доходности 6% удвоятся через 12 лет.

Таким образом, инвестиции с годовой доходностью 8% удвоятся за девять лет.

Общий годовой темп роста (CAGR)

Составной годовой темп роста (CAGR) используется для большинства финансовых приложений, которые требуют расчета единого темпа роста за период времени.

Допустим, за пять лет ваш инвестиционный портфель вырос с 10 000 до 16 000 долларов; что такое CAGR? По сути, это означает, что PV = - 10 000 долларов США, FV = 16 000 долларов США, nt = 5, поэтому необходимо вычислить переменную «i». Используя финансовый калькулятор или Excel, можно показать, что i = 9, 86%.

(Обратите внимание, что в соответствии с соглашением о движении денежных средств ваши начальные инвестиции (PV) в размере 10000 долларов США обозначаются отрицательным знаком, поскольку они представляют собой отток средств. PV и FV обязательно должны иметь противоположные знаки, чтобы решить для «i» в приведенном выше уравнение).

CAGR Реальные приложения

CAGR широко используется для расчета доходов за периоды времени для акций, паевых инвестиционных фондов и инвестиционных портфелей. CAGR также используется для определения того, превысил ли менеджер взаимных фондов или портфельный менеджер рыночную норму доходности за определенный период времени. Если, например, рыночный индекс обеспечил общую доходность в 10% за пятилетний период, но управляющий фондом генерировал только 9% годовой доходности за тот же период, он уступил рынку.

CAGR также может быть использован для расчета ожидаемого темпа роста инвестиционных портфелей в течение длительных периодов времени, что полезно для таких целей, как сбережения для выхода на пенсию. Рассмотрим следующие примеры:

Пример 1. Инвестор, не склонный к риску, доволен умеренной 3% -ной годовой доходностью своего портфеля. Поэтому ее нынешний портфель в 100 000 долларов через 20 лет вырастет до 180 611 долларов. Напротив, толерантный к риску инвестор, который ожидает, что годовой доход от ее портфеля составит 6%, увеличится на 100 000 долларов до 320 714 долларов через 20 лет.

Пример 2: CAGR может использоваться для оценки того, сколько нужно убрать, чтобы сэкономить на конкретной цели. Пара, которая хотела бы сэкономить 50 000 долларов в течение 10 лет на первоначальный взнос за квартиру, должна будет сэкономить 4165 долларов в год, если они предполагают годовой доход (CAGR) в размере 4% от своих сбережений. Если они готовы пойти на небольшой дополнительный риск и ожидать CAGR 5%, им нужно будет экономить 3 975 долларов в год.

Пример 3: CAGR также может быть использован для демонстрации преимуществ инвестирования раньше, чем позже. Если цель состоит в том, чтобы сэкономить 1 миллион долларов за счет выхода на пенсию в возрасте 65 лет, исходя из CAGR в 6%, 25-летний должен будет экономить 6462 доллара в год для достижения этой цели. С другой стороны, 40-летний футболист должен был бы сэкономить 18 227 долларов, или почти в три раза больше, чтобы достичь той же цели.

• CAGR также часто появляются в экономических данных. Вот пример: ВВП на душу населения в Китае вырос со 193 долларов в 1980 году до 6 091 в 2012 году. Каков ежегодный рост ВВП на душу населения за этот 32-летний период? Темп роста «i» в этом случае составляет впечатляющие 11, 4%.

Плюсы и минусы компаундирования

В то время как магия соединения привела к тому, что Альберт Эйнштейн назвал это восьмым чудом света или величайшим изобретением человека, апокрифическая история, сложность может также работать против потребителей, имеющих ссуды с очень высокими процентными ставками, например, задолженность по кредитным картам. Остаток по кредитной карте в размере 20 000 долларов США по процентной ставке 20%, начисляемой ежемесячно, приведет к совокупной процентной ставке в размере 4 388 долларов США за один год или около 365 долларов США в месяц.

С другой стороны, магия соединения может принести вам пользу, когда речь заходит о ваших инвестициях, и может стать мощным фактором создания богатства. Экспоненциальный рост за счет сложного процента также важен для смягчения факторов, разрушающих благосостояние, таких как рост стоимости жизни, инфляция и снижение покупательной способности.

Паевые инвестиционные фонды предлагают инвесторам один из самых простых способов воспользоваться преимуществами сложных процентов. Выбор реинвестирования дивидендов, полученных от взаимного фонда, приводит к приобретению большего количества акций фонда. Со временем накапливаются все более сложные проценты, и цикл покупки большего количества акций будет продолжать способствовать росту стоимости инвестиций в фонд.

Рассмотрим инвестицию в паевой инвестиционный фонд с начальными 5000 долларов и годовой прибавкой 2400 долларов. При средней годовой доходности в 12% за 30 лет будущая стоимость фонда составляет 798 500 долларов США. Сложный процент - это разница между денежными средствами, внесенными в инвестиции, и фактической будущей стоимостью инвестиций. В этом случае при внесении 77 000 долл. США или совокупного взноса всего в 200 долл. США в месяц в течение 30 лет сложный процент составляет 721 500 долл. США будущего остатка. Конечно, доходы от сложных процентов облагаются налогом, если только деньги не находятся на защищенном от налогов счете; он обычно облагается налогом по стандартной ставке, связанной с налоговой шкалой налогоплательщика.

Сложные процентные инвестиции

Инвестор, который выбирает план реинвестирования на брокерском счете, по существу использует силу компаундирования во что бы то ни было инвестировать. Инвесторы также могут испытывать сложные проценты при покупке облигации с нулевым купоном. Традиционные выпуски облигаций предоставляют инвесторам периодические выплаты процентов на основе первоначальных условий выпуска облигаций, и поскольку они выплачиваются инвестору в форме чека, проценты не составляют. Облигации с нулевым купоном не отправляют процентные чеки инвесторам; вместо этого этот тип облигации приобретается с дисконтом к его первоначальной стоимости и со временем растет. Эмитенты облигаций с нулевым купоном используют силу составления, чтобы увеличить стоимость облигации, чтобы она достигла полной цены при погашении.

Составление может также работать на вас при осуществлении погашения кредита. Например, внесение половины своего ипотечного платежа два раза в месяц вместо полной выплаты один раз в месяц приведет к сокращению периода амортизации и сохранению значительной суммы процентов. Говоря о кредитах…

Сказать, если интерес сложен

Закон «Правда в кредитовании» (TILA) требует, чтобы кредиторы раскрывали потенциальным заемщикам условия кредита, в том числе общую сумму в долларах, подлежащую выплате в течение срока действия кредита, и сведения о том, начисляются ли проценты просто или усугубляются.

Другой метод - сравнить процентную ставку по кредиту с годовой процентной ставкой (APR), которую TILA также требует от кредиторов раскрывать. APR преобразует финансовые расходы по вашему кредиту, которые включают все проценты и сборы, в простую процентную ставку. Существенная разница между процентной ставкой и APR означает один или оба из двух сценариев: в вашем кредите используются сложные проценты, или в дополнение к процентам он включает в себя огромные комиссии за кредит.