Содержание
- Распределение вероятностей рисования
- Дискретный против непрерывного
- PDF против кумулятивного распределения
- Равномерное распределение
- Биномиальное распределение
- Логнормальное Распределение
- Пуассон
- Студенческий Т
- Бета Распределение
- Суть
Распределение вероятностей рисования
Почти независимо от вашего взгляда на предсказуемость или эффективность рынков, вы, вероятно, согласитесь, что для большинства активов гарантированная доходность является неопределенной или рискованной. Если мы проигнорируем математику, лежащую в основе распределения вероятностей, мы увидим, что это картинки, которые описывают определенный взгляд на неопределенность. Распределение вероятностей - это статистический расчет, который описывает вероятность того, что данная переменная попадет между или в пределах определенного диапазона на диаграмме.
Неопределенность относится к случайности. Это отличается от отсутствия предсказуемости или неэффективности рынка. По мнению исследователей, финансовые рынки неопределенны и предсказуемы. Кроме того, рынки могут быть эффективными, но также и неопределенными.
В финансах мы используем распределения вероятностей для рисования картин, которые иллюстрируют наше представление о чувствительности доходности активов, когда мы думаем, что доходность активов можно считать случайной величиной. мы рассмотрим некоторые из наиболее популярных распределений вероятностей и покажем, как их рассчитать.
Распределения могут быть классифицированы как дискретные или непрерывные, в зависимости от того, является ли это функцией плотности вероятности (PDF) или кумулятивным распределением.
Дискретные и непрерывные распределения
Дискретный относится к случайной переменной, взятой из конечного набора возможных результатов. Например, шестигранный кубик имеет шесть отдельных результатов. Непрерывное распределение относится к случайной переменной, взятой из бесконечного множества. Примеры непрерывных случайных величин включают скорость, расстояние и доходность некоторых активов. Дискретная случайная величина обычно показана точками или штрихами, а непрерывная переменная - сплошной линией. На рисунке ниже показаны дискретные и непрерывные распределения для нормального распределения со средним (ожидаемым значением) 50 и стандартным отклонением 10:
Изображение Джули Бэнг © Investopedia 2020
Распределение является попыткой наметить неопределенность. В этом случае результат 50 является наиболее вероятным, но только в 4% случаев; результат 40 - одно стандартное отклонение ниже среднего, и это произойдет чуть менее чем в 2, 5% случаев.
Плотность вероятности против совокупного распределения
Другое различие между функцией плотности вероятности (PDF) и кумулятивной функцией распределения. PDF - это вероятность того, что наша случайная величина достигнет определенного значения (или в случае непрерывной переменной, попадания между интервалами). Покажем, что указав вероятность того, что случайная величина X будет равна фактическому значению x:
P
Совокупное распределение - это вероятность того, что случайная величина X будет меньше или равна фактическому значению x:
или, например, если ваш рост является случайной величиной с ожидаемым значением 5'10 "дюймов (средний рост ваших родителей), тогда вопрос в формате PDF:" Какова вероятность того, что вы достигнете роста 5'4 "? " Соответствующий кумулятивный вопрос о функции распределения: «Какова вероятность, что вы будете меньше 5'4»? »
На рисунке выше показаны два нормальных распределения. Теперь вы можете видеть это графики функции плотности вероятности (PDF). Если мы заново построим то же самое распределение, что и накопительное распределение, мы получим следующее:
Изображение Джули Бэнг © Investopedia 2020
Кумулятивное распределение должно в конечном итоге достичь 1, 0 или 100% по оси Y. Если мы поднимем планку достаточно высоко, то в какой-то момент практически все результаты попадут под эту планку (мы можем сказать, что распределение обычно асимптотически до 1, 0).
Финансы, общественная наука, не так чисты, как физические науки. Например, у гравитации есть элегантная формула, от которой мы можем зависеть снова и снова. Возврат финансовых активов, с другой стороны, не может повторяться так последовательно. Ошеломляющая сумма денег была потеряна за эти годы умными людьми, которые путали точное распределение (то есть, как будто полученное из физических наук) с грязными, ненадежными приближениями, которые пытаются изобразить финансовую прибыль. В финансах распределение вероятностей - чуть больше, чем грубые графические представления.
Равномерное распределение
Самым простым и популярным является равномерное распределение, при котором все результаты имеют равные шансы на достижение. Шестигранная матрица имеет равномерное распределение. Каждый исход имеет вероятность около 16, 67% (1/6). Наш график ниже показывает сплошную линию (чтобы вы могли видеть ее лучше), но имейте в виду, что это дискретное распределение - вы не можете бросить 2.5 или 2.11:
Изображение Джули Бэнг © Investopedia 2020
Теперь бросьте две кости вместе, как показано на рисунке ниже, и распределение больше не будет равномерным. Он достигает пика в семь, что имеет шанс 16, 67%. В этом случае все остальные результаты менее вероятны:
Изображение Джули Бэнг © Investopedia 2020
Теперь бросьте три кубика вместе, как показано на рисунке ниже. Мы начинаем видеть последствия самой удивительной теоремы: центральной предельной теоремы. Центральная предельная теорема смело обещает, что сумма или среднее из ряда независимых переменных будет стремиться стать нормально распределенными, независимо от их собственного распределения . Наши кубики индивидуально одинаковы, но объединяют их и - по мере добавления большего количества кубиков - почти волшебным образом их сумма будет стремиться к привычному нормальному распределению.
Изображение Джули Бэнг © Investopedia 2020
Биномиальное распределение
Биномиальное распределение отражает серию «или / или» испытаний, таких как серия бросков монет. Они называются испытаниями Бернулли, которые относятся к событиям, которые имеют только два исхода, но вам не нужны четные (50/50) шансы. Приведенное ниже биномиальное распределение изображает серию из 10 бросков монет, в которой вероятность появления голов составляет 50% (p-0, 5). На рисунке ниже вы можете видеть, что вероятность перевернуть ровно пять голов и пять хвостов (порядок не имеет значения) составляет всего лишь 25%:
Изображение Джули Бэнг © Investopedia 2020
Если биномиальное распределение выглядит нормально для вас, вы правы в этом. По мере увеличения числа испытаний биномиальное отклонение стремится к нормальному распределению.
Логнормальное Распределение
Логнормальное распределение очень важно в финансах, потому что многие из самых популярных моделей предполагают, что цены на акции распределяются логнормально. Легко спутать доходность активов с уровнями цен.
Возврат активов часто рассматривается как нормальный - акции могут расти на 10% или на 10%. Ценовые уровни часто рассматриваются как логарифмические - акции в 10 долларов могут подняться до 30 долларов, но не могут упасть до - 10 долларов. Логнормальное распределение ненулевое и смещено вправо (опять же, акция не может опуститься ниже нуля, но не имеет теоретического предела роста):
Изображение Джули Бэнг © Investopedia 2020
Пуассон
Распределение Пуассона используется для описания шансов определенного события (например, ежедневная потеря портфеля ниже 5%), происходящего в течение определенного промежутка времени. Итак, в приведенном ниже примере мы предполагаем, что некоторый операционный процесс имеет уровень ошибок 3%. Далее мы предполагаем 100 случайных испытаний; распределение Пуассона описывает вероятность получения определенного количества ошибок за некоторый период времени, например за один день.
Изображение Джули Бэнг © Investopedia 2020
Студенческий Т
T-распределение Стьюдента также очень популярно, потому что оно имеет немного «более толстый хвост», чем нормальное распределение. Т ученика обычно используется, когда размер нашей выборки невелик (т. Е. Меньше 30). В финансах левый хвост представляет потери. Поэтому, если размер выборки невелик, мы смеем недооценивать шансы на большую потерю. Толстый хвост на T студента поможет нам здесь. Тем не менее, случается, что жирный хвост этого распределения часто недостаточно толстый. Финансовые доходы, как правило, в редких катастрофических случаях приводят к действительно полным потерям (т. Е. Больше, чем предсказывалось распределением). Из-за этого были потеряны большие суммы денег.
Бета Распределение
Наконец, бета-распределение (не путать с бета-параметром в модели ценообразования капитальных активов) популярно среди моделей, которые оценивают коэффициенты возмещения по портфелям облигаций. Бета-дистрибутив является утилитарным игроком дистрибутивов. Как и в обычном режиме, ему нужны только два параметра (альфа и бета), но они могут быть объединены для значительной гибкости. Четыре возможных бета-распределения показаны ниже:
Суть
Как и многие другие ботинки в нашем статистическом шкафу для обуви, мы стараемся выбрать наиболее подходящую для этого случая, но мы не знаем, какая погода для нас. Мы можем выбрать нормальное распределение, а затем выяснить, что оно недооценивает потери левого хвоста; поэтому мы переключаемся на искаженное распределение, только чтобы найти, что данные выглядят более «нормальными» в следующем периоде. Изящная математика внизу может соблазнить вас думать, что эти распределения раскрывают более глубокую истину, но более вероятно, что они - просто человеческие артефакты. Например, все рассмотренные нами распределения довольно плавные, но некоторые возвраты активов скачкообразно растут.
Нормальное распределение вездесуще и элегантно и требует только двух параметров (среднее и распределение). Многие другие распределения сходятся к нормальному (например, биномиальное и пуассоновское). Однако многие ситуации, такие как доходность хедж-фонда, кредитные портфели и события с серьезными убытками, не заслуживают нормального распределения.
