Определение модели Black Scholes

Содержание

Что такое модель Блэка Шоулза?
Основы модели BSM
Формула Черного Скоулза
Что говорит модель?
Ограничения

Что такое модель Блэка Шоулза?

Модель Блэка Шоулза, также известная как модель Блэка-Шоулза-Мертона (BSM), является математической моделью для определения цены опционного контракта. В частности, модель оценивает изменение во времени финансовых инструментов, таких как акции, и, используя подразумеваемую волатильность базового актива, получает цену опциона колл.

Ключевые вынос

Модель Блэка-Шоулза Мертона (BSM) - это дифференциальное уравнение, используемое для определения цены опционов. Модель получила Нобелевскую премию по экономике. Стандартная модель BSM используется только для оценки европейских опционов и не учитывает, что опционы США могут исполняться до истечения срока годности.

Основы модели Блэка Шоулза

Модель предполагает, что цена активно торгуемых активов следует геометрическому броуновскому движению с постоянным дрейфом и волатильностью. Применительно к опциону на акции модель включает изменение цены акции в постоянных ценах, временную стоимость денег, цену исполнения опциона и время до истечения срока действия опциона.

Также называемый Black-Scholes-Merton, это была первая широко используемая модель для оценки опционов. Он используется для расчета теоретической стоимости опционов с использованием текущих цен акций, ожидаемых дивидендов, цены исполнения опциона, ожидаемых процентных ставок, времени до истечения срока действия и ожидаемой волатильности.

Формула, разработанная тремя экономистами - Фишером Блэком, Мироном Скоулзом и Робертом Мертоном - является, пожалуй, самой известной в мире моделью оценки опционов. Он был представлен в их статье 1973 года «Ценообразование опционов и корпоративных обязательств», опубликованной в Журнале политической экономии . Блэк скончался за два года до того, как Скоулз и Мертон были удостоены Нобелевской премии по экономике за 1997 год за их работу по поиску нового метода определения стоимости дериватов (Нобелевская премия не присуждается посмертно; однако Нобелевский комитет признал роль черных в Модель Блэка-Шоулза).

Модель Блэка-Шоулза делает определенные предположения:

Опцион является европейским и может быть исполнен только по истечении срока. Дивиденды не выплачиваются в течение срока действия опциона. Рынки эффективны (т. Е. Рыночные движения не могут быть спрогнозированы). При покупке опциона операционные издержки отсутствуют. Свободная ставка и волатильность базового актива известны и постоянны. Доходность базового актива обычно распределяется.

Хотя первоначальная модель Блэка-Шоулза не учитывала влияние дивидендов, выплачиваемых в течение срока действия опциона, модель часто адаптируется для учета дивидендов путем определения значения даты экс-дивидендов для базовых акций.

Формула Черного Скоулза

Математика, включенная в формулу, сложна и может быть пугающей. К счастью, вам не нужно знать или даже понимать математику, чтобы использовать моделирование Блэка-Шоулза в своих собственных стратегиях. Трейдеры опционов имеют доступ к различным онлайн-калькуляторам опционов, и многие современные торговые платформы могут похвастаться надежными инструментами анализа опционов, включая индикаторы и электронные таблицы, которые выполняют вычисления и выводят значения цены опционов.

Формула опциона колл Блэка Шоулза рассчитывается путем умножения цены акций на кумулятивную стандартную функцию нормального распределения вероятности. После этого чистая приведенная стоимость (NPV) цены исполнения, умноженная на совокупное стандартное нормальное распределение, вычитается из результирующего значения предыдущего расчета.

В математической записи:

$\begin{matrix} С знак равно S_{T} N (d_{1}) - К е^{- р T} N (d_{2}) \\ где: \\ d_{1} знак равно \frac{L N \frac{S_{T}}{К} + (р + \frac{σ_{v}^{2}}{2}) T}{σ_{s} \sqrt{T}} \\ и \\ d_{2} знак равно d_{1} - σ_{s} \sqrt{T} \\ где: \\ С знак равно Цена опциона \\ S знак равно Текущая цена акций (или других базовых) \\ К знак равно Цена исполнения \\ р знак равно Безрисковая процентная ставка \\ T знак равно Время до погашения \\ N знак равно Нормальное распределение \end{matrix} \ begin {align} & C = S_t N (d _1) - K e ^ {- rt} N (d _2) \ & \ textbf {где:} \ & d_1 = \ frac {ln \ frac {S_t} {K } + (r + \ frac { sigma ^ {2} _v} {2}) t} { sigma_s \ \ sqrt {t}} \ & \ text {and} \ & d_2 = d _1 - \ sigma_s \ \ sqrt {t} \ & \ textbf {где:} \ & C = \ text {цена опциона на звонок} \ & S = \ text {текущая цена акции (или другой основной)} \ & K = \ text {цена исполнения } \ & r = \ text {Безрисковая процентная ставка} \ & t = \ text {Время до погашения} \ & N = \ text {Нормальное распределение} \ \ end {выровненный}$ C = St N (d1) −Ke − rtN (d2) где: d1 = σs t lnKSt + (r + 2σv2) t и d2 = d1 −σs t где: C = цена опциона коллS = текущая цена акции (или другого базового актива) K = оценщик страйк = процентная ставка без риска = время до погашенияN = нормальное распределение

Модель Блэка-Шоулза

Что говорит модель Блэка Шоулза?

Модель Блэка Шоулза является одним из наиболее важных понятий в современной финансовой теории. Он был разработан в 1973 году Фишером Блэком, Робертом Мертоном и Мироном Скоулзом и до сих пор широко используется в наши дни. Это считается одним из лучших способов определения справедливой цены опционов. Для модели Блэка-Шоулза требуется пять входных переменных: цена исполнения опциона, текущая цена акции, время до истечения срока действия, безрисковая ставка и волатильность.

Модель предполагает, что цены на акции соответствуют логнормальному распределению, поскольку цены на активы не могут быть отрицательными (они ограничены нулем). Это также известно как распределение Гаусса. Часто наблюдается, что цены на активы имеют значительную асимметрию и некоторую степень эксцесса (жирные хвосты). Это означает, что нисходящие движения с высоким риском часто происходят на рынке чаще, чем предсказывает нормальное распределение.

Таким образом, допущение о логнормальных ценах базовых активов должно показать, что подразумеваемая волатильность одинакова для каждой цены исполнения в соответствии с моделью Блэка-Шоулза. Однако после краха рынка в 1987 году подразумеваемая волатильность для опционов на деньги была ниже, чем на тех, которые находятся вне денег или в деньгах. Причиной этого явления является то, что цены на рынке повышаются с вероятностью движения высокой волатильности в сторону снижения на рынках.

Это привело к наличию перекоса волатильности. Когда на графике отображается предполагаемая волатильность для опционов с одинаковой датой истечения срока действия, можно увидеть улыбку или наклонную форму. Таким образом, модель Блэка-Шоулза неэффективна для расчета подразумеваемой волатильности.

Ограничения модели Блэка Шоулза

Как указывалось ранее, модель Блэка Шоулза используется только для оценки европейских опционов и не учитывает, что опционы США могут быть исполнены до истечения срока их действия. Более того, модель предполагает, что дивиденды и безрисковые ставки постоянны, но в действительности это может быть не так. Модель также предполагает, что волатильность остается постоянной в течение срока действия опциона, что не так, поскольку волатильность колеблется в зависимости от уровня спроса и предложения.

Кроме того, модель предполагает отсутствие операционных издержек или налогов; что безрисковая процентная ставка является постоянной для всех сроков погашения; разрешена короткая продажа ценных бумаг с использованием выручки; и что нет никаких безрисковых арбитражных возможностей. Эти предположения могут привести к ценам, которые отличаются от реального мира, где эти факторы присутствуют.

Оглавление: