Длительность Маколея и модифицированная дюрация в основном используются для расчета дюраций облигаций. Длительность Маколея рассчитывает средневзвешенное время до того, как владелец облигации получит денежные потоки по облигации. И наоборот, измененная дюрация измеряет чувствительность к цене облигации при изменении доходности к погашению.
Продолжительность маколея
Длительность Маколея рассчитывается путем умножения периода времени на периодическую выплату купона и деления результирующего значения на 1 плюс периодическая доходность, увеличенная до времени до погашения. Далее значение рассчитывается для каждого периода и складывается вместе. Затем полученное значение добавляется к общему количеству периодов, умноженному на номинальную стоимость, деленному на 1, плюс периодическую доходность, увеличенную до общего количества периодов. Затем стоимость делится на текущую цену облигации.
Срок действия Маколея = Текущая цена облигации (∑t = 1n (1 + y) tt ∗ C + (1 + y) nn ∗ M), где: C = периодическая выплата купонаyy = периодическая доходностьM = стоимость погашения облигации = продолжительность облигации в периодах
Цена облигации рассчитывается путем умножения денежного потока на 1, минус 1, деленное на 1, плюс доходность к погашению, увеличенная до количества периодов, деленных на требуемую доходность. Результирующая стоимость добавляется к номинальной стоимости или стоимости погашения облигации, деленной на 1, плюс доходность к погашению, увеличенная до общего числа периодов.
Например, предположим, что срок действия Маколея пятилетней облигации со сроком погашения 5000 долларов США и ставкой купона 6% составляет 4, 87 года ((1 * 60) / (1 + 0, 06) + (2 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 2 + (3 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 3 + (4 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 4 + (5 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 5 + (5 * 5000) / (1 + 0, 06) ^ 5) / (60 * ((1- (1 + 0, 06) ^ -5) / (0, 06)) + (5000 / (1 + 0, 06) ^ 5)).
Модифицированная дюрация данной облигации с доходностью к погашению 6% за один купонный период составляет 4, 59 года (4, 87 / (1 + 0, 06 / 1). Следовательно, если доходность к погашению увеличивается с 6% до 7%, дюрация облигации уменьшится на 0, 28 года (4, 87 - 4, 59).
Формула для расчета процентного изменения цены облигации - это изменение доходности, умноженное на отрицательное значение модифицированной дюрации, умноженное на 100%. Это результирующее процентное изменение облигации для увеличения доходности на 1% рассчитывается как -4, 59% (0, 01 * - 4, 59 * 100%).
Измененная продолжительность
Измененная продолжительность = (1 + nYTM) Macauley Duration, где: YTM = доходность к погашению
Измененная дюрация является скорректированной версией дюрации Маколея, которая учитывает изменение доходности к срокам погашения. Формула для модифицированной дюрации - это значение дюрации Маколея, деленное на 1, плюс доходность к погашению, деленная на количество купонных периодов в году. Измененная дюрация определяет изменения дюрации и цены облигации для каждого процентного изменения доходности к погашению.
Например, предположим, что шестилетняя облигация имеет номинальную стоимость 1000 долларов США и годовую ставку купона 8%. Продолжительность Маколея рассчитывается как 4, 99 года ((1 * 80) / (1 + 0, 08) + (2 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 2 + (3 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 3 + (4 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 4 + (5 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 5 + (6 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 6 + (6 * 1000) / (1 + 0, 08) ^ 6) / (80 * (1- (1 + 0, 08) ^ -6) / 0, 08 + 1000 / (1 + 0, 08) ^ 6).
Измененная дюрация этой облигации с доходностью к погашению 8% за один купонный период составляет 4, 62 года (4, 99 / (1 + 0, 08 / 1). Следовательно, если доходность к погашению увеличивается с 8% до 9%, дюрация облигации уменьшится на 0, 37 года (4, 99 - 4, 62).
Формула для расчета процентного изменения цены облигации - это изменение доходности, умноженное на отрицательное значение модифицированной дюрации, умноженное на 100%. Это результирующее процентное изменение в облигации при увеличении процентной ставки с 8% до 9% рассчитывается как -4, 62% (0, 01 * - 4, 62 * 100%).
Поэтому, если процентные ставки вырастут на 1% за ночь, цена облигации, как ожидается, снизится на 4, 62%.
Измененные дюрации и процентные свопы
Измененную продолжительность можно продлить, чтобы рассчитать количество лет, в течение которых потребуется процентный своп, чтобы погасить цену, уплаченную за своп. Процентный своп - это обмен одного набора денежных потоков на другой, основанный на спецификациях процентных ставок между сторонами.
Измененная продолжительность рассчитывается путем деления значения в долларах на один базисный пункт изменения процентного свопа или серии потоков денежных средств на текущую стоимость серии потоков денежных средств. Затем значение умножается на 10000. Измененную продолжительность для каждой серии денежных потоков также можно рассчитать путем деления долларовой стоимости изменения базового пункта серии денежных потоков на условную стоимость плюс рыночную стоимость. Фракция затем умножается на 10000.
Измененная продолжительность обеих сторон должна быть рассчитана для расчета измененной продолжительности процентного свопа. Разница между двумя измененными дюрациями - это модифицированная дюрация процентного свопа. Формула для измененной продолжительности процентного свопа представляет собой измененную продолжительность получающей ветви за вычетом модифицированной продолжительности оплачивающей части.
Например, предположим, что банк A и банк B заключили процентный своп. Модифицированная длительность этапа получения свопа рассчитывается как девять лет, а модифицированная длительность этапа выплаты рассчитывается как пять лет. В результате измененная продолжительность процентного свопа составляет четыре года (9 лет - 5 лет).
Сравнение продолжительности Маколея и измененной продолжительности
Поскольку дюрация Маколея измеряет средневзвешенное время, в течение которого инвестор должен держать облигацию, пока текущая стоимость денежных потоков облигации не будет равна сумме, уплаченной за облигацию, она часто используется управляющими облигациями, которые стремятся управлять риском портфеля облигаций с помощью стратегий иммунизации., Напротив, измененная дюрация определяет, насколько дюрация изменяется для каждого процентного изменения доходности, а также измеряет, насколько изменение процентных ставок влияет на цену облигации. Таким образом, измененная дюрация может служить мерой риска для инвесторов в облигации путем аппроксимации того, насколько сильно может снизиться цена облигации с ростом процентных ставок. Важно отметить, что цены облигаций и процентные ставки имеют обратную зависимость друг от друга.
