Оценка вариантов может быть сложным делом. Рассмотрим следующий сценарий: в январе 2015 года акции IBM торговались по 155 долларов, и вы ожидали, что они вырастут в следующем году. Вы намереваетесь купить опцион колл на акции IBM со страйк-ценой в банкомате $ 155, ожидая получить выгоду от высокого процентного дохода, основанного на небольшой стоимости опциона (премия опциона), по сравнению с покупкой акций с высокой ценой покупки.
Какова должна быть справедливая стоимость этого опциона в IBM?
Сегодня для оценки вариантов доступны несколько различных готовых методов, в том числе модель Блэка-Шоулза и модель биномиального дерева, которые могут дать быстрые ответы. Но каковы основные факторы и движущие концепции для достижения таких моделей оценки? Можно ли подготовить нечто подобное, основываясь на концепции этих моделей?
Здесь мы рассмотрим строительные блоки, лежащие в основе концепции и факторы, которые можно использовать в качестве основы для построения модели оценки актива, такого как опционы, обеспечивая параллельное сравнение с происхождением Блэка-Шоулза (BS).) модель.
Мир до Блэк-Шоулза
До Блэка-Шоулза широко применялась модель ценообразования капитальных активов (CAPM), основанная на равновесии. Доходности и риски были сбалансированы друг с другом, исходя из предпочтений инвестора, то есть ожидалось, что инвестор с высоким уровнем риска будет компенсирован (потенциально) более высокой доходностью в аналогичной пропорции.
Модель BS берет свои корни в CAPM. По словам Фишера Блэка: «Я применил модель ценообразования основных средств к каждому моменту в жизни ордера, к каждой возможной цене акций и стоимости ордера». К сожалению, CAPM не смог выполнить требование ценообразования (опциона) по варранту.
Блэк-Шоулз остается первой моделью, основанной на концепции арбитража, которая меняет парадигму от моделей, основанных на риске (таких как CAPM). Эта новая разработка модели BS заменила концепцию возврата акций CAPM признанием того факта, что идеально хеджированная позиция обеспечит безрисковую ставку. При этом были устранены вариации риска и доходности, и была создана концепция арбитража, при которой оценки выполняются исходя из предположения о нейтральности к риску - хеджируемая (безрисковая) позиция должна приводить к безрисковой ставке доходности.
Развитие Блэка-Шоулза
Давайте начнем с установления проблемы, ее количественной оценки и разработки основы для ее решения. Мы продолжим наш пример оценки опциона на покупку банкоматов в IBM по цене исполнения $ 155 с истечением одного года.
На основании базового определения опциона колл, если цена акций не достигнет уровня цены исполнения, выплата остается нулевой. После этого уровня выплата увеличивается линейно (т. Е. Увеличение базового актива на один доллар обеспечит выплату опциона на колл в один доллар).
При условии, что покупатель и продавец договорились о справедливой оценке (включая нулевую цену), теоретическая справедливая цена для этого опциона будет:
- Цена опциона колл = $ 0, если базовый <страйк (красный график) Цена опциона колл = (базовый - страйк), если базовый> = страйк (синий график)
Это представляет собой внутреннюю стоимость опциона и выглядит идеально с точки зрения покупателя опциона колл. В красной области и покупатель, и продавец имеют справедливую оценку (нулевая цена для продавца, нулевая выплата покупателю). Однако задача оценки начинается с синего региона, так как покупатель имеет преимущество положительной выплаты, в то время как продавец несет убытки (при условии, что базовая цена превышает цену исполнения). Это где покупатель имеет преимущество перед продавцом с нулевой ценой. Цены должны быть ненулевыми, чтобы компенсировать продавцу риск, который он принимает.
В первом случае (красный график) теоретически продавец получает нулевую цену и покупатель имеет нулевой потенциал выплат (справедливо для обеих сторон). В последнем случае (синий график) разница между базовым активом и забастовкой оплачивается продавцом покупателю. Риск продавца распространяется на весь год. Например, базовая цена акций может быть очень высокой (скажем, до 200 долларов за четыре месяца), и продавец обязан заплатить покупателю разницу в 45 долларов.
Таким образом, это сводится к:
- Будет ли цена базового пересекать цену страйка? Если да, насколько высокой может быть базовая цена (так как это определит выплату покупателю)?
Это указывает на большой риск, который берет на себя продавец, что приводит к вопросу - зачем кому-то продавать такой звонок, если он ничего не получает за риск, на который он идет?
Наша цель - получить единую цену, которую продавец должен будет взимать с покупателя, что может компенсировать ему общий риск, который он принимает в течение года - как в области нулевого платежа (красный), так и в области линейного платежа (синий), Цена должна быть справедливой и приемлемой как для покупателя, так и для продавца. Если нет, то тот, кто находится в невыгодном положении с точки зрения оплаты или получения несправедливой цены, не будет участвовать в рынке, тем самым нанося ущерб цели торгового бизнеса. Модель Блэка-Шоулза нацелена на установление этой справедливой цены, учитывая постоянное изменение цены акции, временную стоимость денег, цену исполнения опциона и время до истечения срока действия опциона. Подобно модели BS, давайте посмотрим, как мы можем приблизиться, чтобы оценить это для нашего примера, используя наши собственные методы.
Как оценить внутреннюю стоимость в синем регионе?
Доступны несколько методов для прогнозирования ожидаемого движения цены в будущем в течение заданного периода времени:
- Можно проанализировать похожие движения цен той же продолжительности в недавнем прошлом. Историческая цена закрытия IBM указывает на то, что за прошедший год (со 2 января 2014 года по 31 декабря 2014 года) цена упала до 160, 44 доллара против 185, 53 доллара, что на 13, 5% меньше. Можем ли мы завершить движение цены IBM на 13, 5%? Дальнейшая детальная проверка показывает, что она достигла годового максимума в 199, 21 долл. США (10 апреля 2014 г.) и годового минимума в 150, 5 долл. США (16 декабря 2014 г.). Исходя из этого в начальный день, 2 января 2014 года, и по цене закрытия 185, 53 доллара, процентное изменение варьируется от + 7, 37% до -18, 88%. Теперь диапазон вариаций выглядит гораздо шире по сравнению с ранее рассчитанным снижением в 13, 5%.
Подобный анализ и наблюдения на исторических данных могут быть продолжены. Чтобы продолжить разработку нашей модели ценообразования, давайте рассмотрим эту простую методологию для оценки будущих изменений цен.
Предположим, что IBM растет на 10% каждый год (на основе исторических данных за последние 20 лет). Основные статистические данные показывают, что вероятность изменения цены акций IBM, колеблющегося около + 10%, будет намного выше, чем вероятность повышения цены IBM на 20% или снижения на 30%, если предположить, что исторические модели повторятся. Собирая сходные исторические точки данных со значениями вероятности, можно рассчитать общую ожидаемую доходность акций IBM за один год как средневзвешенное значение вероятностей и связанных доходностей. Например, предположим, что исторические ценовые данные IBM указывают на следующие движения:
- (-10%) в 25% случаев, + 10% в 35% случаев, + 15% в 20% случаев, + 20% в 10% случаев, + 25% в 5% случаев и (-15%) в 5% случаев.
Следовательно, средневзвешенное значение (или ожидаемое значение) составляет:
(-10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 15% * 5%) / 100% = 6, 5%
То есть в среднем ожидается, что цена акций IBM вернется + 6, 5% через год за каждый доллар. Если кто-то покупает акции IBM с годовым горизонтом и ценой покупки 155 долларов, можно ожидать, что чистый доход составит 155 * 6, 5% = 10, 075 доллара.
Тем не менее, это для возврата акций. Нам нужно искать похожие ожидаемые доходы для опциона колл.
Исходя из нулевой выплаты по вызову ниже цены исполнения (существующий $ 155 - вызов банкомата), все отрицательные движения будут генерировать нулевые выплаты, в то время как все положительные движения выше цены исполнения генерируют эквивалентную выплату. Таким образом, ожидаемый доход от опциона колл будет:
(-0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 0 % * 5%) / 100% = 9, 75%
То есть на каждые 100 долларов, вложенные в покупку этой опции, можно ожидать 9, 75 доллара (исходя из вышеизложенных предположений).
Тем не менее, это по-прежнему ограничивается справедливой оценкой внутренней суммы опциона и не позволяет правильно отразить риск, который несет продавец опциона в связи с высокими колебаниями, которые могут возникнуть в промежуточный период (в случае вышеупомянутых внутригодовых максимумов и минимумов). Цены). В дополнение к внутренней стоимости, какая цена может быть согласована покупателем и продавцом, чтобы продавец получил справедливую компенсацию за риск, который он берет на себя в течение одного года?
Эти колебания могут широко варьироваться, и у продавца может быть своя собственная интерпретация того, сколько он хочет получить за это компенсацию. Модель Блэка-Шоулза предполагает опционы европейского типа, т.е. никаких упражнений до истечения срока годности. Таким образом, он не подвержен влиянию промежуточных ценовых колебаний и основывает свою оценку на сквозных торговых днях.
В реальной торговле эта волатильность играет важную роль в определении цены опциона. Синяя функция выплаты, которую мы обычно видим, на самом деле является выплатой на дату истечения срока действия. Реально, цена опциона (розовый график) всегда выше, чем выплата (синий график), указывая на цену, взятую продавцом, чтобы компенсировать его риск-способности. Вот почему цена опциона также известна как опцион «премия», что по сути указывает на премию за риск.
Это может быть включено в нашу модель оценки, в зависимости от того, какая волатильность ожидается в цене акций и какая ожидаемая стоимость принесет.
Модель Блэка-Шоулза делает это эффективно (конечно, в пределах своих собственных предположений) следующим образом:
С = S & times; N (d1) -X × электронной RTN (d2)
Модель BS предполагает логнормальное распределение движений цены акций, что оправдывает использование N (d1) и N (d2).
- В первой части S указывает текущую цену акции. N (d1) указывает на вероятность текущего движения цены акций.
Если этот вариант пойдет на деньги, позволяя покупателю воспользоваться этим вариантом, он получит одну акцию базовой акции IBM. Если трейдер использует его сегодня, то S * N (d1) представляет ожидаемое значение опциона на текущий день.
Во второй части X указывает цену исполнения.
- N (d2) представляет вероятность того, что цена акции будет выше цены исполнения. Так что X * N (d2) представляет ожидаемое значение цены акции, оставшегося выше цены исполнения.
Поскольку модель Блэка-Шоулза предполагает варианты европейского стиля, в которых упражнения возможны только в конце, ожидаемое значение, представленное выше X * N (d2), должно быть дисконтировано для временной стоимости денег. Следовательно, последняя часть умножается на экспоненциальный член, повышенный до процентной ставки за период времени.
Чистая разница двух слагаемых указывает на стоимость опциона на сегодняшний день (где второй слагаемый дисконтируется)
В нашей структуре такие ценовые движения могут быть более точно включены несколькими способами:
- Дальнейшее уточнение расчетов ожидаемой доходности путем расширения диапазона до более тонких интервалов для включения внутридневных / внутригодовых движений цен. Включение текущих рыночных данных, поскольку они отражают текущую активность (аналогичную предполагаемой волатильности). Ожидаемая доходность на дату истечения срока действия, которая может быть дисконтированными до настоящего времени для реалистичных оценок и далее уменьшен от текущей стоимости
Таким образом, мы видим, что нет предела допущениям, методологиям и настройке, которые будут выбраны для количественного анализа. В зависимости от актива, подлежащего продаже, или инвестиций, которые необходимо учитывать, может быть разработана собственная модель. Важно отметить, что волатильность ценовых движений разных классов активов сильно различается - акции имеют скачок волатильности, форекс - хмуриться волатильности - и пользователи должны включать в свои модели соответствующие модели волатильности. Допущения и недостатки являются неотъемлемой частью любой модели, и грамотное применение моделей в реальных торговых сценариях может дать лучшие результаты.
Суть
Ввиду того, что сложные активы выходят на рынки или даже простые ванильные активы попадают в сложные формы торговли, количественное моделирование и анализ становятся обязательными для оценки. К сожалению, ни одна математическая модель не обходится без множества недостатков и допущений. Наилучший подход состоит в том, чтобы свести допущения к минимуму и знать о предполагаемых недостатках, которые могут помочь в определении границ использования и применимости моделей.
