Понимание модели ценообразования биномиальных опционов

Определение цены акций

Согласиться с точной ценой для любого торгуемого актива сложно, поэтому цены на акции постоянно меняются. В действительности компании едва ли меняют свои оценки на ежедневной основе, но их цены на акции и оценки меняются почти каждую секунду. Эта трудность в достижении консенсуса по поводу правильного ценообразования для любого торгуемого актива приводит к кратковременным арбитражным возможностям.

Но многие успешные инвестиции сводятся к простому вопросу современной оценки - какова текущая цена сегодня для ожидаемой будущей выгоды?

Оценка бинарных опционов

На конкурентном рынке, чтобы избежать арбитражных возможностей, активы с одинаковыми структурами выплат должны иметь одинаковую цену. Оценка опционов была сложной задачей, а изменения цен приводят к арбитражным возможностям. Black-Scholes остается одной из самых популярных моделей, используемых для определения цен, но имеет ограничения.

Модель ценообразования биномиальных опционов является еще одним популярным методом, используемым для оценки опционов.

Примеры

Предположим, есть опцион колл на конкретную акцию с текущей рыночной ценой 100 долларов. Опцион «на деньги» (ATM) имеет цену исполнения в 100 долларов со сроком действия до одного года. Есть два трейдера, Питер и Паула, которые согласны с тем, что цена акций либо вырастет до 110 долларов, либо упадет до 90 долларов за один год.

Они согласны с ожидаемыми уровнями цен в определенный период времени в один год, но не согласны с вероятностью движения вверх или вниз. Питер считает, что вероятность того, что цена акции достигнет 110 долларов, составляет 60%, а Паула - 40%.

Исходя из этого, кто будет готов заплатить больше за опцион колл? Возможно, Питер, поскольку он ожидает высокой вероятности восходящего движения.

Расчеты бинарных опционов

Двумя активами, от которых зависит оценка, являются опцион колл и базовый запас. Участники согласны с тем, что базовая цена акций может измениться с текущих 100 долл. США до 110 долл. США или 90 долл. США за один год, и другие изменения цен невозможны.

В мире без арбитража, если вам нужно создать портфель, состоящий из этих двух активов, опциона колл и базовой акции, такой, чтобы независимо от того, куда идет базовая цена - 110 или 90 долларов США, чистая доходность портфеля всегда остается неизменной., Предположим, вы покупаете «d» акции базовых и коротких опционов «один кол» для создания этого портфеля.

Если цена поднимется до 110 долларов, ваши акции будут стоить 110 долларов в день, и вы потеряете 10 долларов при выплате короткого колла. Чистая стоимость вашего портфеля будет (110d - 10).

Если цена упадет до $ 90, ваши акции будут стоить $ 90 * d, и срок действия опциона истечет. Чистая стоимость вашего портфеля будет (90d).

$\begin{matrix} час (d) - м знак равно L (d) \\ где: \\ час знак равно Самая высокая потенциальная базовая цена \\ d знак равно Количество базовых акций \\ м знак равно Деньги, потерянные при выплате по короткому звонку \\ L знак равно Самая низкая потенциальная базовая цена \end{matrix} \ begin {align} & h (d) - m = l (d) \ & \ textbf {где:} \ & h = \ text {Максимальная потенциальная базовая цена} \ & d = \ text {Количество базовых акций} \ & m = \ text {Деньги потеряны при выплате короткого вызова} \ & l = \ text {Самая низкая потенциальная базовая цена} \ \ end {выровнен}$ H (d) -m = l (d) где: h = самая высокая потенциальная базовая цена = количество базовых акцийm = деньги, потерянные при выплате по короткому вызовуl = самая низкая потенциальная базовая цена

Таким образом, если вы покупаете половину доли, предполагая, что возможны дробные покупки, вам удастся создать портфель, чтобы его стоимость оставалась одинаковой в обоих возможных состояниях в течение данного периода времени в один год.

$\begin{matrix} 110 d - 10 знак равно 90 d \\ d знак равно \frac{1}{2} \end{matrix} \ begin {align} & 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \ \ end {align}$ 110d-10 = 90dd = 21

Это значение портфеля, обозначенное как (90d) или (110d - 10) = 45, составляет один год. Чтобы рассчитать его текущую стоимость, он может быть дисконтирован безрисковой ставкой доходности (при условии 5%).

$\begin{matrix} Текущее значение & знак равно 90 d \times е^{(- 5 % \times 1 Год)} \\ знак равно 45 \times 0, 9523 \\ знак равно 42, 85 \end{matrix} \ begin {align} text {Present Value} & = 90d \ times e ^ {(-5 \% \ times 1 \ text {Year})} \ & = 45 \ times 0, 9523 \\ & = 42, 85 \\ {конец выровнен}$ Приведенное значение = 90d × e (−5% × 1 год) = 45 × 0, 9523 = 42, 85

Поскольку в настоящее время портфель состоит из ½ доли базовых акций (с рыночной ценой 100 долларов США) и одного короткого колла, он должен быть равен текущей стоимости.

$\begin{matrix} \frac{1}{2} \times 100 - 1 \times Цена звонка знак равно $ 42, 85 \\ Цена звонка знак равно $ 7, 14 т.е. цена звонка сегодня \end{matrix} \ begin {align} & \ frac {1} {2} times 100 - 1 \ times \ text {Call Call} = \ $ 42.85 \\ & \ text {Call Price} = \ $ 7.14 \ text {, т.е. цена звонка сегодня} \ \ end {выровнен}$ 21 × 100−1 × Цена звонка = 42, 85 $ Цена звонка = 7, 14 $, то есть цена звонка сегодня

Поскольку это основано на предположении, что стоимость портфеля остается неизменной независимо от того, каким образом идет базовая цена, вероятность движения вверх или вниз не играет никакой роли. Портфель остается без риска независимо от базовых ценовых движений.

В обоих случаях (предполагается, что движение вверх к 110 долларам и движение вниз к 90 долларам), ваш портфель нейтрален к риску и получает безрисковую норму прибыли.

Следовательно, оба трейдера, Питер и Паула, были бы готовы заплатить одинаковые $ 7, 14 за этот опцион колл, несмотря на их разное восприятие вероятностей восходящих ходов (60% и 40%). Их индивидуально воспринимаемые вероятности не имеют значения при оценке опционов.

Предполагая вместо этого, что индивидуальные вероятности имеют значение, арбитражные возможности могли появиться сами собой. В реальном мире такие арбитражные возможности существуют с незначительными ценовыми различиями и исчезают в краткосрочной перспективе.

Но где во всех этих расчетах находится сильно раскрученная волатильность, важный и чувствительный фактор, влияющий на цены опционов?

Волатильность уже включена в характер определения проблемы. Предполагая два (и только два - отсюда и название «биномиальных») состояния ценовых уровней ($ 110 и $ 90), волатильность подразумевается в этом предположении и включается автоматически (10% в любом случае в этом примере).

Блэка-Шоулза

Но является ли этот подход правильным и совместимым с обычно используемыми ценами Блэка-Шоулза? Результаты калькулятора опций (любезно предоставлены OIC) близко совпадают с вычисленным значением:

К сожалению, реальный мир не так прост, как «только два состояния». Акции могут достичь нескольких ценовых уровней до истечения срока их действия.

Можно ли включить все эти несколько уровней в модель биномиального ценообразования, которая ограничена только двумя уровнями? Да, это очень возможно, но чтобы понять это, нужно немного математики.

Простая математика

Чтобы обобщить эту проблему и решение:

«X» - текущая рыночная цена акции, а «X * u» и «X * d» - будущие цены для восходящих и нисходящих движений «t» лет спустя. Коэффициент «u» будет больше единицы, поскольку он указывает на восходящее движение, а «d» будет лежать между нулем и единицей. Для приведенного выше примера u = 1, 1 и d = 0, 9.

Выплаты колл-опциона: «P _up » и «P _dn » для движений вверх и вниз в момент истечения срока действия.

$\begin{matrix} VUM знак равно s \times Икс \times U - п_{вверх} \\ где: \\ VUM знак равно Стоимость портфеля в случае восходящего движения \end{matrix} \ begin {align} & \ text {VUM} = s \ times X \ times u - P_ \ text {up} \ & \ textbf {где:} \ & \ text {VUM} = \ text {Стоимость портфеля в случае движения вверх} \ \ end {выровненный}$ VUM = s × X × u-Pup, где: VUM = стоимость портфеля в случае восходящего движения

$\begin{matrix} VDM знак равно s \times Икс \times d - п_{вниз} \\ где: \\ VDM знак равно Стоимость портфеля в случае нисходящего движения \end{matrix} \ begin {align} & \ text {VDM} = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} \ & \ textbf {где:} \ & \ text {VDM} = \ text {Стоимость портфеля в случае движения вниз} \ \ end {выровненный}$ VDM = s × X × d-Pdown, где: VDM = стоимость портфеля в случае нисходящего движения

Для аналогичной оценки в любом случае движения цены:

$s \times Икс \times U - п_{вверх} знак равно s \times Икс \times d - п_{вниз} s \ times X \ times u - P_ \ text {up} = s \ times X \ times d - P_ \ text {down}$ s × X × U-Pup = S × X × d-Pdown

$\begin{matrix} s & знак равно \frac{п_{вверх} - п_{вниз}}{Икс \times (U - d)} \\ знак равно Количество акций для покупки \\ безрисковый портфель \end{matrix} \ begin {align} s & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {X \ times (u - d)} \ & = \ text {Количество приобретаемых акций} \ & \ phantom {=} text {портфель без риска} \ \ end {выровненный}$ s = X × (u − d) Pup -Pdown = Количество акций, которые нужно купить = безрисковый портфель

Будущая стоимость портфеля в конце «т» года будет:

$\begin{matrix} В случае Up Move & знак равно s \times Икс \times U - п_{вверх} \\ знак равно \frac{п_{вверх} - п_{вниз}}{U - d} \times U - п_{вверх} \end{matrix} \ begin {align} text {В случае перемещения вверх} & = s \ times X \ times u - P_ \ text {up} \ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down} } {u - d} times u - P_ \ text {up} \ \ end {выровнен}$ В случае восходящего движения = s × X × u-Pup = u-dPup -Pdown × u-Pup

$\begin{matrix} В случае движения вниз & знак равно s \times Икс \times d - п_{вниз} \\ знак равно \frac{п_{вверх} - п_{вниз}}{U - d} \times d - п_{вниз} \end{matrix} \ begin {align} text {В случае смещения вниз} & = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} \ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down} } {u - d} times d - P_ \ text {down} \ \ end {выровненный}$ В случае смещения вниз = s × X × d-Pdown = u-dPup -Pdown × d-Pdown

Современное значение может быть получено путем дисконтирования с безрисковой нормой доходности:

$\begin{matrix} PV знак равно е (- р T) \times \\ где: \\ PV знак равно Современная стоимость \\ р знак равно Норма прибыли \\ T знак равно Время в годах \end{matrix} \ begin {align} & \ text {PV} = e (-rt) times \ left \\ & \ textbf {где:} \ & \ text {PV} = \ text {Текущее значение} \ & r = \ text {норма прибыли} \ & t = \ text {время в годах} \ \ end {выровнен}$ PV = e (−rt) × где: PV = текущая стоимость = коэффициент возврата = время в годах

Это должно соответствовать портфельному владению акциями "s" по цене X, и значение короткого колла "c" (сегодняшнее владение (s * X - c) должно соответствовать этому расчету.) Окончательное решение для "c" дает его в качестве:

Примечание. Если премия за звонок укорочена, она должна быть дополнением к портфелю, а не вычитанием.

$с знак равно \frac{е (- р T)}{U - d} \times c = \ frac {e (-rt)} {u - d} times$ с = U-де (-rt) ×

Другой способ написать уравнение, переставив его:

Принимая «д» как:

$Q знак равно \frac{е (- р T) - d}{U - d} q = \ frac {e (-rt) - d} {u - d}$ д = и-де (-rt) -d

Тогда уравнение становится:

$с знак равно е (- р T) \times (Q \times п_{вверх} + (1 - Q) \times п_{вниз}) c = e (-rt) times (q \ times P_ \ text {up} + (1 - q) times P_ \ text {down})$ с = е (-rt) × (д × Pup + (1-Q) × Pdown)

Перестановка уравнения в терминах «д» открыла новую перспективу.

Теперь вы можете интерпретировать «q» как вероятность восходящего движения базового актива (поскольку «q» связано с P _up, а «1-q» связано с P _dn). В целом, уравнение представляет современную цену опциона, дисконтированную стоимость его выплаты по истечении срока действия.

Это «Q» отличается

Как эта вероятность «q» отличается от вероятности восходящего или нисходящего движения базового актива?

$\begin{matrix} VSP знак равно Q \times Икс \times U + (1 - Q) \times Икс \times d \\ где: \\ VSP знак равно Стоимость акций на время T \end{matrix} \ begin {align} & \ text {VSP} = q \ times X \ times u + (1 - q) times X \ times d \\ & \ textbf {где:} \ & \ text {VSP} = \ text {значение цены акций в момент времени} t \\ \ end {выровнен}$ VSP = q × X × u + (1 − q) × X × d где: VSP = значение цены акций в момент времени t

Подставляя значение «q» и переставляя, цена акции в момент времени «t» приходит к:

$\begin{matrix} Цена акций знак равно е (р T) \times Икс \end{matrix} \ begin {align} & \ text {Stock Price} = e (rt) times X \\ \ end {align}$ Цена акции = e (rt) × X

В этом предполагаемом мире двух государств цена акций просто увеличивается на безрисковую норму прибыли, точно так же, как безрисковый актив, и, следовательно, она остается независимой от любого риска. Инвесторы безразличны к риску в рамках этой модели, поэтому она представляет собой модель, нейтральную к риску.

Вероятность «q» и «(1-q)» известны как вероятности, не зависящие от риска, а метод оценки известен как модель оценки, не зависящая от риска.

Пример сценария имеет одно важное требование - будущая структура выплат требуется с точностью (уровень $ 110 и $ 90). В реальной жизни такая ясность относительно пошаговых уровней цен невозможна; скорее цена движется случайным образом и может обосноваться на нескольких уровнях.

Для дальнейшего расширения примера предположим, что возможны двухступенчатые уровни цен. Мы знаем итоговые выплаты второго шага, и нам нужно оценить опцион сегодня (на начальном этапе):

Работая в обратном направлении, промежуточная оценка первого шага (при t = 1) может быть выполнена с использованием окончательных выплат на шаге два (t = 2), а затем с использованием этих рассчитанных оценок первого шага (t = 1), современной оценки (t = 0) можно достичь с помощью этих расчетов.

Чтобы получить цену опциона под номером два, используются выплаты на четыре и пять. Чтобы получить цены на номер три, используются выплаты на пять и шесть. Наконец, рассчитанные выплаты в два и три используются для получения цены на номер один.

Обратите внимание, что этот пример предполагает одинаковый коэффициент для движений вверх (и вниз) на обоих шагах - u и d применяются сложным образом.

Рабочий пример

Предположим, что пут-опцион со страйк-ценой 110 долларов в настоящее время торгуется по 100 долларов и истекает через год. Годовая безрисковая ставка составляет 5%. Ожидается, что цена будет увеличиваться на 20% и снижаться на 15% каждые шесть месяцев.

Здесь u = 1, 2 и d = 0, 85, x = 100, t = 0, 5

используя приведенную выше формулу

$Q знак равно \frac{е (- р T) - d}{U - d} q = \ frac {e (-rt) - d} {u - d}$ д = и-де (-rt) -d

мы получаем q = 0, 35802832

стоимость опциона пут в точке 2, $\begin{matrix} п_{2} знак равно е (- р T) \times (п \times п_{вверх вверх} + (1 - Q) п_{updn}) \\ где: \\ п знак равно Цена опциона пут \end{matrix} \ begin {align} & p_2 = e (-rt) times (p \ times P_ \ text {upup} + (1 - q) P_ \ text {updn}) \ & \ textbf {где:} \ & p = \ text {Цена опциона пут} \ \ end {выровнен}$ P2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn), где: p = цена опциона пут

При условии P _upup базовый уровень будет = 100 * 1, 2 * 1, 2 = 144 доллара, что приведет к P _upup = нулю

При условии P _updn, базовый уровень будет = 100 * 1, 2 * 0, 85 = $ 102, что приведет к P _updn = $ 8.

При условии P _dndn базовый уровень будет = 100 * 0, 85 * 0, 85 = 72, 25 долл. США, что приведет к P _dndn = 37, 75 долл. США

p ₂ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 0 + (1-0, 35802832) * 8) = 5, 008970741

Аналогично, p ₃ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 8 + (1-0, 35802832) * 37, 75) = 26, 42958924.

$п_{1} знак равно е (- р T) \times (Q \times п_{2} + (1 - Q) п_{3}) p_1 = e (-rt) times (q \ times p_2 + (1 - q) p_3)$ р1 = е (-rt) × (д × р2 + (1-Q) р3)

И, следовательно, стоимость опциона пут, p ₁ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 5, 008970741 + (1-0, 35802832) * 26, 42958924) = 18, 29 долл. США.

Аналогично, биномиальные модели позволяют разбить всю длительность опции на дальнейшее уточнение нескольких шагов и уровней. Используя компьютерные программы или электронные таблицы, вы можете работать в обратном направлении по одному шагу за раз, чтобы получить текущую стоимость желаемой опции.

Другой пример

Предположим, что опцион пут по европейскому типу истекает через девять месяцев, цена исполнения составляет 12 долларов, а текущая базовая цена - 10 долларов. Примите безрисковую ставку 5% для всех периодов. Предположим, что каждые три месяца базовая цена может двигаться на 20% вверх или вниз, давая нам u = 1.2, d = 0.8, t = 0.25 и трехшаговое биномиальное дерево.

Красным цветом обозначены базовые цены, а синим - выплата пут-опционов.

Вероятность "q", не зависящая от риска, равна 0.531446.

Используя вышеупомянутое значение «q» и значения выплат в t = девять месяцев, соответствующие значения в t = шесть месяцев вычисляются как:

Кроме того, используя эти вычисленные значения при t = 6, значения при t = 3, а затем при t = 0 составляют:

Это дает современную стоимость опциона пут в размере 2, 18 доллара, что довольно близко к тому, что вы найдете при вычислениях по модели Блэка-Шоулза (2, 30 доллара).

Суть

Хотя использование компьютерных программ может облегчить эти интенсивные вычисления, прогнозирование будущих цен остается основным ограничением биномиальных моделей для оценки опционов. Чем мельче временные интервалы, тем труднее прогнозировать выплаты в конце каждого периода с высокой точностью.

Тем не менее, гибкость включения изменений, ожидаемых в разные периоды, является плюсом, что делает его подходящим для оценки американских опционов, включая оценки на ранних этапах исполнения.

Значения, рассчитанные с использованием биномиальной модели, близко соответствуют значениям, рассчитанным на основе других широко используемых моделей, таких как Блэк-Шоулз, что указывает на полезность и точность биномиальных моделей для определения цены опциона. Модели биномиального ценообразования могут быть разработаны в соответствии с предпочтениями трейдера и могут работать в качестве альтернативы Блэк-Шоулзу.

Оглавление: